专题03充要条件与必要条件（原卷版）

20232024高一数学必修第一册20232024高一数学必修第一册专题03充要条件与必要条件专题03充要条件与必要条件№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第一章集合与常用逻辑用语专题03充要条件与必要条件→➊考点精析←1充分条件与必要条件概念一般地，”若p，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p如果”若p，则q”和它的逆命题”若q，则p即既有p⇒q，又有q⇒此时p即是q的充分条件也是必要条件，我们说p是q的充要条件.②p是q的______条件(填写是否充分、必要)完成此题型，可思考从左到右，若p⇒q则充分，若从右到左，若q⇒p则必要，若q从左到右，显然若A是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；从右到左，若B是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.③从集合的角度理解－－小范围推得出大范围(1)命题p、q对应集合若A⊆B，则p⇒q，即p是q的充分条件；若A⊈B，则p备注若A⊆B，则称A为小范围，B设集合A={帅哥}，集合B={男人}，显然A⊆B，{帅哥}是小范围，推得出{(2)结论①若p是q的充分不必要条件，则A⊊②若p是q的必要不充分条件，则B⊊③若p是q的充分条件，则A⊆B④若p是q的必要条件，则B⊆⑤若p是q的充要条件，则A=B.→➋真题精讲←1.（2023全国理科甲卷）设甲：，乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B2.（2023北京卷）若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【详解】解法一：因为，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要条件.解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.解法三：充分性：因，且，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C3.（2023天津）“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；由，则，即，显然成立，必要性成立；所以是的必要不充分条件.故选：B→➌题型突破←题型一、充分条件、必要条件、充要条件的判断1．已知p：“”，q：“x=4”，则p是q的________条件.【答案】必要不充分【分析】根据充分性、必要性的定义进行判断即可【详解】根据题意，p：“x23x4=0”，即x=4或1，则有若q：x=4成立，则有p：“x23x4=0”成立，反之若p：“x23x4=0”成立，则q：x=4不一定成立，则p是q的必要不充分条件.故答案为：必要不充分【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，属于基础题.题型二、充要条件的证明2.若“x2-3x-4>0”是“【解析】由x2－3x－4>0得x>4由x2－3ax若a＝0，则不等式的解为x≠0，此时不等式的解集为为若a>0，则不等式的解集为B＝若a<0，不等式的解集为B＝(求解含参的不等式，注意分类讨论)若“x2－3x－(从集合的角度去思考充分必要条件问题)则当a＝当a>0时，则满足5a≥4-2a<-1，即a≥4当a<0时，则满足-2a≥45a≤-1，得a≤-2a≤-综上实数a的取值范围{a|a≤-2或a≥4【点拨】①本题涉及含参的一元二次不等式的求解，要注意两个根“5a,-2a”的大小比较，才有了"a=0,a>0,a<0"②从集合的角度去理解充分条件和必要条件，记住“小范围推得出大范围”.题型三、充分、必要、充要条件的探究3．设集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）；【分析】（1）由集合描述求集合、，根据集合交运算求；（2）由充分不必要条件知⫋，即可求m的取值范围.【详解】，（1）时，，∴；（2）“”是“”的充分不必要条件，即⫋，又且，∴，解得；【点睛】本题考查了集合的基本运算，及根据充分不必要条件得到集合的包含关系，进而求参数范围，属于基础题.4．设命题P：实数x满足；命题q：实数x满足.（1）若，且p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若，且q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，分别求得命题，再结合命题都为真时，即可求解实数的取值范围；（2）根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，分别求得命题，由是的充分不必要条件，转化为集合的包含关系，即可求解.【详解】（1）由不等式，可得，当时，解得，即p为真时，，由，可得，解得，即q为真时，，若都为真时，实数x的取值范围是.（2）由不等式，可得，因为，所以，即p为真时，不等式的解集为，又由不等式，可得，即q为真时，不等式的解集为，设，因为是的充分不必要条件，可得集合是的真子集，则，解得，所以实数m的取值范围是.【点睛】本题主要考查了根据复数命题的真假，以及必要不充分条件求解参数的取值范围，以及一元二次不等式和绝对值不等式的求解，其中解答中熟记不等式的解法，求得命题是解答的关键，着重考查推理与运算能力.题型四、求参数值或取值范围5．已知集合（1）若，求；（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由集合描述可得，，根据集合交运算即可求；（2）由是的充分条件知列不等式组即可求a的范围.【详解】（1），当时，，则；（2）∵，∴是的充分条件，，，解得，即实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了集合的关系以及基本运算，首先根据集合描述写出集合，利用交运算求交集，再由充分条件得到包含关系，列不等式组求参数范围.6．已知集合，集合.（1）当时，求；（2）设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）时，求出集合与集合，利用集合运算性质即可得出．（2）时，，，．根据“”是“”的必要不充分条件，可得，即可得出．【详解】解：（1）当时，，集合，所以.（2）因为，所以，，因为“”是“”的必要不充分条件，所以，所以解得：.【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．→➍专题精练←1.已知a>0,b>0,m∈R,则“a≤b”的一个必要不充分条件是()A．am≤bmB．2．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2021·全国高三其他模拟）已知p：；q：，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4在关于x的不等式ax2+2x+1>0中，“a>1”是“axA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．（2023春·广东·高三统考开学考试）设，则“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7.若a,b是正整数，则a+b>ab充要条件是()A．a=b=1 B．C．a=b=2 D8.已知，则“”是“”的（）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9.设则“”是“”的（）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要10.（1）（2020·黑山县黑山中学月考）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．（2）（2020·陕西新城·西安中学高三月考（理））设:,:,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是(

)A．B．C．D．11.