选择性空间向量与立体几何专题02空间向量的数量积运算（原卷版）

空间向量与立体几何专题02空间向量的数量积运算一、学习目标：1.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算规律及计算方法；2.能用向量的数量积解决夹角与距离问题。二、知识梳理1.空间向量的夹角定义：如下图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，则叫做向量a，b的夹角，记作.如果，那么向量a，b互相垂直，记作.空间向量a与b夹角的范围：________．当＝0时，a与b________________．当＝π时，a与b________________．当＝eq\f(π,2)时，a与b________________．2．空间向量的数量积数量积定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即________________．数量积的运算规律：（1）；（2）（交换律）（3）（分配律）空间向量数量积的性质设，是非零向量，是单位向量，则；②；③或；④；⑤3．空间两向量垂直的充要条件________________．4．利用空间向量求模长与夹角（1）在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：。将其推广：________________．________________．（2）________________．5．投影向量：向量a向向量b投影，得到c=________________．,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。如图（1），在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影（如图（2））.如图（3），向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.三、类型归纳：类型一：求空间向量的数量积类型二：求空间向量的模长及夹角类型三：利用空间向量证明垂直问题及求参数；类型四：投影向量的应用四、类型应用类型一：空间向量的数量积的计算【例11】已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，则（

）．A．15 B．3 C． D．5【变式训练11】已知空间向量是一组单位正交向量，，则（

）A．15 B．21 C．45 D．36【例12】如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（

）A． B．1 C． D．【变式训练12】如图，已知四棱锥的各棱长均为，则（

）A． B． C．1 D．2【变式训练13】在空间四边形中，等于（

）A． B．0 C．1 D．不确定类型二：求空间向量的模长与夹角【例2】如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，．（1）用，，表示．（2）求的长．（3）求与所成角的余弦值．【变式训练21】如图，在平行六面体中，，.求：(1)；(2)的长.【变式训练22】如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（

）A． B． C． D．【变式训练23】已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（

）A． B． C． D．4【变式训练24】如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式训练25】已知空间向量、、满足，，，，则与的夹角为_________．【例3】如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果，求证：.【变式训练31】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1．【变式训练32】如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)求与的夹角的余弦值；(3)判断与是否垂直．【变式训练33】在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（

）A．－6 B．6C．3 D．－3【例4】已知与夹角为60°且，，则在方向上的投影向量是______．【变式训练41】已知空间向