应用基本不等式求最值解题模板

应用基本不等式求最值的解题模板【考点综述】基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点•应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，主要方法有配凑法、分离法、单调性法等，在解题中注意体会蕴含的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想•在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题.【解题方法思维导图预览】一解題方法模板一分离法应用基本不等式求最值・解題方法模板三单调性法解题方法棋板

配凑法.第二步:使用基木不等式对具进行求解即可解题方法棋板

配凑法.第二步:使用基木不等式对具进行求解即可&笫三步：得出结论第一步:首先观察已知曲数的农达式的特征，如分了（或分母）是二次形式11分母（或分了）見一次形式:把分母或分子的一次形式当成一个■整体，并将分了或分耳的二次形式配燥成-枕.第：步:将其化简即可得到帛本不等式的形式1.第：步:将其化简即可得到帛本不等式的形式©第三步:并运川基木不等式对其进行求解即可得出所求的结果■第•步:运用凌项或换元法将所给的函数化简为满足荃本不等式的形式-第二步：运用基本不等式并检验其等号成立的务■件，等号取不到，结合函数兀叭=x+l的单调■性』•运用其图像与性质求;II其函数的最值即可Q第三步:得出结论【解题方法】解题方法模板一：配凑法使用情景：某一类函数的最值问题解题模板:第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件：第二步使用基本不等式对其进行求解即可；第三步得出结论.解题模板应用：

例】已知€，求函数H+召的最大值.【解析】解题模板选择：本题中可配凑基本不等式成立的三个条件，故选取解题方法模板一配凑法进行解答.解题模板应用：第一步配凑（凑项.凑系数等）成符合条件的不等式；=-（5-4x）+=-（5-4x）+15-4jc+3,第二步使用基本不等式对其进行求解;v=（4x-2）+4x-5（5-4%）+^—+3<-2+3=1,v=（4x-2）+4x-55-4x当且仅当x=l时取等号第三步得出结论：函数y=4x_2+1.的最大值为14x-5练习1.已知实数X』满足x2-xy+y2=1,则x+y的最大值为TOC\o"1-5"\h\zA.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】原式可化为：（x+y），=1+3可<1+3（于）2,解得-2S+y<2,当且仅当x=y=1时成立.所以选B.2.若正数a,b满足丄+2=1，则上7+1的最小值为（）abci-1b-1A.16B.25C.36D.49【答案】A【解析】由丄+；=1得:b=—（o>l,b>l）,代入二+£得到：aba-l<7-1b-l41641644f=1=16（a—1）>2J16（a—1）=16a-1b-la-1ci]a-\Na-la-1

43当且仅当：荷沁7)即r时取等号・故选：A【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归,数学运算的能力，属于中档题.1(1(1A1(3已知正实数^满足屮"则万％的最小值是(当且仅当一=—、一，解得兀=8,x,=|,A.H2【答案】B.5C.2+2>/2D.3+^2【解析】1、b2+1b2A.H2【答案】B.5C.2+2>/2D.3+^2【解析】1、b2+1b2+(a+b)2abab2b2+亍+2ab(V^)_+，+2ab〉(2匝+2问=?迈ab1abab当且仅当a=®时取等号，即a=2-忑,/?=>/2-1时等号成立,故选：C.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题.4.已知o+2b=l(d>0,b>0),则—+1的最小值等于.ab【答案】2y[2+2【解析】由题意得越+丄=生+W生斗222」生£+2=2迈+2,当且ababab\ab仅当a=^2b=0-1时等号成立，所以y+|的最小值为2迈+2・【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.415・己知0vxv4,则一+——的最小值为・x4-x【答案】74【解析】41_+x4-xTOC\o"1-5"\h\zx4-x・3Q又因为0VXV4,所以％=亍时等号成立.41Q因此，上+亠的最小值为?.x4-x49故答案为：7-4【点睛】本题考查基本不等式求代数式的最值，考查了“1”的代换的应用，考查计算能力，属于基础题.解题方法模板二：分离法使用情景：二次关系的分式函数的最值问题解题模板：第一步首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；第二步将其化简即可得到基本不等式的形式，第三步并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.解题模板应用：x~+71■+10例2求）,=——:—（X>-1）的最小值.X+1【答案】9【解析】解题模板选择：本题中分子是二次形式且分母是一次形式，故选取解题方法模板二分离法进行解答.解题模板应用：第一步，把分母子的一次形式当成一个整体，并将分子的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；X2+7x4-10_（工+1）2+5（x+l）+4TOC\o"1-5"\h\z无+1无+1第二步，将其化简即可得到基本不等式形式，V：=（X+1）'HF5°x+1

第三步，运用基本不等式得出结论:八2』乂+1)吕+5“当且仅当X=1时取等号所以最小值为9练习6.实数X、儿%>-1,且满足与+y=—x+3,则x+y的最小值是()A.1B.V2C.A.1B.V2C.2D.3【答案】C一1，X+lX+lX+1【解析】因为小+y=-x+3,所以〉，=3-x_4_(x+l)一1，X+lX+lX+1因为x>-l,所以x+l>0,所以心十占一1七+1)+缶亠2阿韦一2=2,当且仅当X=1时，等号成立，因此，x+y的最小值是2・故选：C.【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，属于常考题型.7.己知x>o，y>-i,+3v"7.己知x>o，y>-i,且x+y=l,则+亠丐最小值为.xy+l【答案】2+妇结合“円可知原式W+击且芥X1(且芥X1(31>-Lx+(y\z\+1)_1y+l(xy+l)22xy+l4和炜当且仅当x=3-血』=-2+石时等号成立.2q2即「2+一最小值为2+妇.xy+l【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正：二定——积或和为定值：三相等一等号能否取得"，若忽略了某个条件，就会出现错误.&己知正实数兀y满足兰&己知正实数兀y满足兰y则“+的最小值为【答案】2【解析】【分析】根据题中条件，得到(X+-Iy)=址+上，再由基本不等式，即可得出结果.yxx【详解】•••一【分析】根据题中条件，得到(X+-Iy)=址+上，再由基本不等式，即可得出结果.yxx【详解】•••一1X-—y\XX+—<yj24x>yy12x犷+=一一yk)‘=1,4xy当且仅当一=二，即y=2x时取等号,yx."+丄＞2,即x+-的最小值为2.yy故答案为：2.【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，属于常考题型.9.己知f(x)=asnix+bcosx的最大值为ab,则£二+斗二的最小值为【答案】17【解析】【分析】先将f(x)=asinx+bcosx9转化为/(x)=sin(x+0)，再根据最大值为"，建立等式际市=肋,整理得右+右T，然后将普+年工转化为(宀心存右,再利用基本不等式中的“1"的代换求解.【详解】/V)=asinx+/?cosx=+甘sin(x+0)3©=夕)，最大值为&?+严，所以+b：=ah9整理得4+^=i,CTb「贝lj^_tl+9h=(/+9/>：)+_^++=(亍+9夕)(-!7++)+1=些+务+11》2不+11=17,0b・/b・Qh'it/r当且仅当竺揉且2+^=1,即"20=也时，取等号0acrb・3所以做+響的最小值为］7Xb'故答案为：17【点睛】本题主要考查三角函数的性质和基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.2210.已知x+y=2,x>—2,y>-3,则上一+丄-的最小值为,此时x+2y+3TOC\o"1-5"\h\z兀一y.【解析】令加=x+2,〃=y+3,则ni>0yn>0jn+n=7,再化简%2V249.+—=—+——3,x+2y+3mn「491491314〃9m131225又一+—=+")(—+-)=可+石(一+—)>—+—=—^iftn7rnn77mn7774/79//71421当且仅当—=—时取得最小值，又加+〃=7,得加==,〃=<,inn33即当x=4,y=7时，—+丄7有最小值£—3諾，此时X—严一；33x+2y+377542故答案为：—:——.【点睛】本题考查了基本不等式求最值，结合考查了换元法的应用，属于中档题.解题方法模板三：单调性法使用情景：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况解题模板：第一步运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；第二步运用基本不等式并检验其等号成立的条件，等号取不到，结合函数f(x)=x+-X的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可；第三步得出结论解题模板应用：%2+5例3求函数y=-==的值域.収+4【解析】解题模板选择：本题中等号取不到，故选取解题方法模板三单调性法进行解答.解题模板应用：第一步，运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；令7774=r(r>2)»则严4^=血+4+-^^十扣2),(对+4丁厂+4t第二步，等号取不到，结合函数f(x)=x+-的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值；因为y=t+^在区间［1,+8)单调递增，所以在其子区间［2,+s)为单调递增函数，第三步，得出结果.5「5、故所以函数的值域为2丿练习11.己知数列｛%｝的前〃项和为以,S”=2陽-2,若存在两项f，使得12TOC\o"1-5"\h\z4%=64,则上+匕的最小值为()innA.丄+渥B.1C.3+2忑D.|235【答案】B【解析】Sn=2an-2,可得ai=Si=2ai-2,即创=2,“N2时，Sn-i=2an-i-2,又Sn=2an-2,相减可得a„=Sn-SH.i=2a„-2a„-1,即an=2a„-i,{&}是首项为2,公比为2的等比数列.所以a”=2".。”皿”=64,即2”'・2"=64,得〃?十〃=6,(3十2©),所以—+—=—(m+n)(—+—)=丄(3+巴-+出)mn6nin(3十2©),当且仅当-=—时取等号，即为加=6>/1-6,〃=12-6血.inni?i因为加、〃取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则一+->-(3十2血)，inn61?验证可得,当加=2,/?=4,或〃7=3,〃=3,,—+-取得最小值为1・mn故选：B.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，考查化简运算能力，属于中档题.已知x>0,y>0,且2x+2y+丄+丄=9,则x+y的最大值为.x)'【答案】4【解析】Tx>0,y>0,2x+2y+丄+丄=9=2(x+y)+^^n2(x+y)+'+[=2(x+y)+^—xyxy(x+yyx+yt4当且仅当x=y时等号成立，2(x+y)2-9(x+y)+4<0,[2(x+y)_l](x+y_4)WO,^<x+y<4,所以x+y的最大值为4,此时x=y=2.【点睛】本题考查用基本不等式求最值，此时解题时是利用基本不等式得出不等关系然后解不等式得岀结论.当然要注意等号成立的条件.TOC\o"1-5"\h\z]2*4~丫已知■)'是正数，一+—=1,则一^的最小值为・XVXV+1

Q【答案】I]22v+V【解析】由—+—=1可得—=1,即2x+）匸厂,xyxy2x+y_xy_1所以巧+1xy+1]|1,xv由1=丄+->2xy得当且仅当2x=y=4时取等号，所以有珂,19丄〉§所以有珂,lvl+—气，11