土豆和生菜的施肥问题

练习2施肥问题题目：土豆和生菜的施肥问题摘要本文主要应用最小二乘法解决问题，首先根据数据，分别绘制出土豆和生菜的产量与三种营养元素之间关系的散点图，再根据所画出的散点图，猜测出三种元素氮（N）、磷（P）、钾（K）对土豆和生菜影响的大致的函数曲线类型，最后应用Matlab，求出未知参数，并作出所拟合的曲线图与散点进行比较，最终确定氮（N）、磷（P）、钾（K）三个因素分别和土豆与生菜的关系式和关系图。运用Matlab软件对氮（N）、磷（P）、钾（K）分别与土豆产量进行逐步回归得到氮（N）、磷（P）、钾（K）分别与土豆产量曲线===对氮（N）、磷（P）、钾（K）分别与生菜产量进行逐步回归得到氮（N）、磷（P）、钾（K）分别与生菜产量曲线===关键词：散点图、曲线拟合、matlab问题重述某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做实验时，P与K的施肥量分别取为196kg／ha与372kg／ha。试分析施肥量与产量之间的关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出评估。土豆：NPK施肥量（kg/ha）产量(t/ha)施肥量（kg/ha）产量(t/ha)施肥量（kg/ha）产量(t/ha)015.18033.46018.983421.362432.474727.356725.724936.069334.8610132.297337.9614038.5213534.039841.0418638.4420239.4514740.0927937.7325943.1519641.2637238.4333643.4624542.1746543.8740440.8329440.3655842.7747130.7534242.7365146.22生菜：NPK施肥量（kg/ha）产量(t/ha)施肥量（kg/ha）产量(t/ha)施肥量（kg/ha）产量(t/ha)011.0206.39015.752812.70499.484716.765614.569812.469316.898416.2714714.3814016.2411217.7519617.1018617.5616822.5929421.9427919.2022421.6339122.6437217.9728019.3448921.3446515.8433616.1258722.0755820.1139214.1168524.5365119.40二、问题分析产量与施肥量的函数关系,有两种方式,一种是对三种肥料施用量与产量分别来拟合相应的函数,这需要拟合三个函数,每个函数都是一元函数,这种做法可以使拟合的效果较好。另一种是考虑三种肥料共同对产量的影响,这只需要拟合出一个函数,这是一个三元函数,且由于数据量偏少且不均匀等的原因,拟合效果要差一些,所以我们选择第一种方法进行计算。首先利用已知数据，做出三个肥料分别对土豆和生菜的散点图，再利用散点图对所要拟合问题的曲线类型做出判断。在确定其他两个量不变的前提下，做出第三个量对农作物的函数关系式，并利用已知数据计算出所需参数，最终确定变量之间的函数关系。我们可以分别绘制出土豆和生菜的产量与施肥量的散点图，从图像的角度判断函数关系，再根据题目所给数据确定最终的函数。最后根据所得函数分析施肥量与产量之间的关系，总结出评估信息。三、符号说明1、表示作物生长中氮的施肥量；2、表示作物生长中磷的施肥量；3、表示作物生长中钾的施肥量；4、表示作土豆的产量；5、表示作生菜的产量；问题假设对N、P、K分别进行讨论时，假设其他两个值固定时，农作物可以正常生长；在实验过程中，土豆和生菜生长只受肥料多少的影响，无自然灾害等其他特殊情况发生；实验数据可信度高，可以真实的反映施肥量与产量的关系；模型的建立与求解5.1数据处理根据已知数据，利用Matlab分别做出N、P、K的施肥量对土豆和生菜产量的散点图，如下所示：1.N的施肥量对土豆产量影响的散点图：>>x=[0,34,67,101,135,202,259,336,404,471];>>y=[15.18,21.36,25.72,32.29,34.03,39.45,43.15,43.46,40.83,30.75];>>plot(x,y,'*')2.P的施肥量对土豆产量影响的散点图>>x=[0,24,49,73,98,147,196,245,294,342];>>y=[33.46,32.47,36.06,37.96,41.04,40.09,41.21,42.17,40.36,42.73];>>plot(x,y,'*')3.K的施肥量对土豆产量影响的散点图>>x=[0,47,93,140,186,279,372,465,558,651];>>y=[18.98,27.35,34.86,38.52,38.44,37.73,38.43,43.87,42.77,46.22];>>plot(x,y,'*')4.N的施肥量对生菜产量影响的散点图>>x=[0,28,56,84,112,168,224,280,336,392];>>y=[11.02,12.7,14.56,16.27,17.75,22.59,21.63,19.34,16.12,14.11];>>plot(x,y,'*')5.P的施肥量对生菜产量影响的散点图>>x=[0,49,98,147,196,294,391,489,587,685];>>y=[6.39,9.48,12.46,14.38,17.10,21.94,22.64,21.34,22.07,24.53];>>plot(x,y,'*')6.K的施肥量对生菜产量影响的散点图>>x=[0,47,93,140,186,279,372,465,558,651];>>y=[15.75,16.76,16.89,16.24,17.56,19.20,17.97,15.84,20.11,19.40];>>plot(x,y,'*')5.2模型建立根据已知数据所描绘出的散点图，可大致判断出氮（N）、磷（P）、钾（K）三个元素对土豆和生菜产量影响的曲线关系。讨论一种肥料的用量与产量的关系时,其它两种肥料的用量都固定在第7种水平,三种肥料氮（N）、磷（P）、钾（K）的用量分别是:我们先列出氮（N）、磷（P）、钾（K）三个在第七水平上的值为：NPK施肥量（kg/ha）产量(t/ha)施肥量（kg/ha）产量(t/ha)施肥量（kg/ha）产量(t/ha)土豆25943.1519641.2637238.43生菜22421.6339122.6437217.97我们设土豆和生菜的产量分别为和，氮（N）、磷（P）、钾（K）的施肥量分别记为、和。当P、K固定在第7种水平，即=196，=372时，我们根据氮（N）的使用量和土豆产量的散点图假设他们之间的曲线关系式为：=同理，根据已知散点图，可以假设出磷（P）、钾（K）与土豆的关系如下：==氮（N）、磷（P）、钾（K）与生菜的关系式如下：===模型建立完毕。5.3模型求解由上述模型建立的出的关系式，利用Matlab编程得到如下结果：1.氮（N）的用量和土豆产量的关系求解。>>x=[0,34,67,101,135,202,259,336,404,471];y=[15.18,21.36,25.72,32.29,34.03,39.45,43.15,43.46,40.83,30.75];p=polyfit(x,y,2)p=-0.00030.197114.7416>>y2=p(1)*x.^2+p(2)*x+p(3);>>plot(x,y,'*',x,y2根据上述结果可知当=-0.0003，=0.1971，=14.7416时，拟合出的线性曲线符合散点图，我们得到氮（N）的用量和土豆产量的关系为：=2.磷（P）的用量和土豆产量的关系求解。>>x=[0,24,49,73,98,147,196,245,294,342];y=[33.46,32.47,36.06,37.96,41.04,40.09,41.21,42.17,40.36,42.73];p=polyfit(x,y,6)>Inpolyfitat80p=0.0000-0.00000.0000-0.00010.0097-0.210233.4537>>y2=p(1)*x.^6+p(2)*x.^5+p(3)*x.^4+p(4)*x.^3+p(5)*x.^2+p(6)*x+p(7);plot(x,y,'*',x,y2)x=[0,24,49,73,98,147,196,245,294,342];y=[33.46,32.47,36.06,37.96,41.04,40.09,41.21,42.17,40.36,42.73];p=polyfit(x,y,6);>Inpolyfitat80>>vpa(p)ans=[0.0000000000016559106748058374711115679530877,-0.0000000017027151494251419349900755691478,0.00000066206999753567675256750143034101,-0.00011984691488430034814367808326807,0.0097010103044680995321158434308018,-0.21023073987675083840187539863109,33.453748776750245497169089503586]>>y2=p(1)*x.^6+p(2)*x.^5+p(3)*x.^4+p(4)*x.^3+p(5)*x.^2+p(6)*x+p(7);plot(x,y,'*',x,y2)根据上述结果可知当-0.00000000000165-0.00000000170271，0.000000662069997，-0.00011984691488，0.009701010304468，-0.2102307398767，33.453748776750245时，拟合出的线性曲线符合散点图，我们得到磷（P）的用量和土豆产量的关系为：=3.钾（K）的用量和土豆产量的关系求解。>>x=[0,47,93,140,186,279,372,465,558,651];>>y=[18.98,27.35,34.86,38.52,38.44,37.73,38.43,43.87,42.77,46.22];>>p=polyfit(x,y,4);>Inpolyfitat80>>vpa(p)ans=[-0.0000000014485654074717728309992432309699,0.0000022570830884435251027645471383343,-0.0011914199668553698396172846329932,0.26030224203944596350623896796606,18.676864073717268865948426537216]>>y2=p(1)*x.^4+p(2)*x.^3+p(3)*x.^2+p(4)*x+p(5);>>plot(x,y,'*',x,y2)根据上述结果可知当-0.0000000014480.0000022570830，-0.0011914199668，0.2603022420394，18.676864073717时，拟合出的线性曲线符合散点图，我们得到钾（K）的用量和土豆产量的关系为：=4.氮（N）的用量和生菜产量的关系求解。x=[0,28,56,84,112,168,224,280,336,392];y=[11.02,12.7,14.56,16.27,17.75,22.59,21.63,19.34,16.12,14.11];p=polyfit(x,y,2)p=-0.00020.101310.2294>>y2=p(1)*x.^2+p(2)*x+p(3);>>plot(x,y,'*',x,y2)根据上述结果可知当-0.00020.1013，10.2294时，拟合出的线性曲线符合散点图，我们得到氮（N）的用量和生菜产量的关系为：=5.磷（P）的用量和生菜产量的关系求解。>>x=[0,49,98,147,196,294,391,489,587,685];y=[6.39,9.48,12.46,14.38,17.10,21.94,22.64,21.34,22.07,24.53];p=polyfit(x,y,4);>Inpolyfitat80>>vpa(p)ans=[0.0000000005772941967671217130969052489279,-0.00000067450205863439454953350230687059,0.0001630905018162498074617283716492,0.045534935221567054974833865799155,6.5992260169990570872755597520154]>>y2=p(1)*x.^4+p(2)*x.^3+p(3)*x.^2+p(4)*x+p(5);plot(x,y,'*',x,y2)根据上述结果可知当0.000000000577-0.000000674502，0.00016309050181，0.0455349352215，6.59922601699905时，拟合出的线性曲线符合散点图，我们得到磷（P）的用量和生菜产量的关系为：=6.钾（K）的用量和生菜产量的关系求解。x=[0,47,93,140,186,279,372,465,558,651];y=[15.75,16.76,16.89,16.24,17.56,19.2,17.97,15.84,20.11,19.4];p=polyfit(x,y,6);>Inpolyfitat80>>vpa(p)ans=[-0.000000000000035327314246556036981343722902213,0.000000000064203944720780845998612527872324,-0.000000042702311557478166068832378622286,0.0000126689925322973150989634000263,-0.0016340747987891532117671333779185,0.080808686408384913790747816619842,15.695414723818187141546331986319]>>y2=p(1)*x.^6+p(2)*x.^5+p(3)*x.^4+p(4)*x.^3+p(5)*x.^2+p(6)*x+p(7);plot(x,y,'*',x,y2)根据上述结果可知当-0.00000000000003530.00000000006420394，-0.0000000427023115，0.000012668992532，-0.001634074798，0.08080868640838，15.69541472381时，拟合出的线性曲线符合散点图，我们得到钾（K）的用量和生菜产量的关系为：=一般地，氮（N）、磷（P）、钾（K）是作物生长的三种基本肥料要素,它们用量的多少将直接影响农作物的产量。这种对作物产量的影响通常是这三种肥料的共同影响，而不应是单一某一种肥料对作物产量的影响。但每一种肥料的用量对于不同的作物产量的影响效果又有不同。由N的施肥量与土豆和生菜产量的拟合曲线，我们可以得到当N的施肥量在328.5kg/ha和168.667kg/ha时，土豆和生菜的产量达到最大值，此时它们的产量分别为47.115275t/ha和23.271775t/ha.由已得的拟合曲线知：当N的施肥量小于328.5kg/ha和168.667kg/ha时，会随着施肥量的增加，土豆和生菜的产量也会随之增加；但当N的施肥量超过328.5kg/ha和168.667kg/ha时，反