2022-2023学年江苏省南京市六合区九年级上学期数学期中试题及答案

2022-2023学年江苏省南京市六合区九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．【详解】解：根据一元二次方程定义可知：A.，是关于x的一元一次方程，不符合题意；B.，为二元二次方程，不符合题意；C.，是分式方程，不符合题意；D.，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；特别注意二次项系数不为0．2.若关于x的方程有一个根是1，则m的值为（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】把代入已知方程得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值即可．【详解】解：把代入，得，解得．故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，由方程的根为1，代入方程是解决问题的关键．3.用配方法解方程，下列变形正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4.如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，得到再根据得到三角形是等腰三角形，即，从而求得即可得出的度数．【详解】解：如图所示：连接CD，∵在中，即的度数是故选：B．【点睛】本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，解题时，综合运用了三角形的内角和定理及其推论，根据同圆的半径相等和等边对等角的性质进行计算．5.如图，C是的中点，弦，且，则所在圆的半径为（）A.4 B.5 C.6 D.10【答案】B【解析】【分析】设所在圆的圆心为O，连接，，由垂径定理证明O、C、D三点共线，则，在中由勾股定理进行求解即可．【详解】解：设所在圆的圆心为O，连接，，∵C是的中点，∴，∵，∴O、C、D三点共线，∴，∴，在中由勾股定理得：，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．6.如图，点A，B，C在上，，，，则的半径为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作交的延长线于点D，连结，．只要证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理即可求出，进而求出的半径．【详解】解：如图，作交的延长线于点D，连结．∵，，∴，，又∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴的半径为．故选C．【点睛】本题考查圆的基本认识，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是证明是等腰直角三角形．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7.方程的根为__．【答案】【解析】【分析】利用因式分解法即可求解．【详解】原方程可化为：，或，；故答案为：．【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选取适当的方法是关键．8.已知⊙的半径为，线段OP的长为，则点在⊙___________（填“内”、“外”或“上”）．【答案】内【解析】【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：⊙的半径为，线段的长为，即点到圆心的距离小于圆的半径，点在⊙内．故答案为：内．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点P在圆外；点在圆上；点在圆内．9.若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是___________（写出一个符合条件的值即可）．【答案】2（答案不唯一，m大于1即可）【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出m的取值范围，取其内的任意一数即可．【详解】解：∵方程没有实数根，∴，解得：．故答案为：2（答案不唯一，m大于1即可）．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝________°【答案】25【解析】【详解】试题分析：根据圆周角定理和直角三角形两锐角互余解答．试题解析：∵CD∥AB，∴∠ADC=∠BAD，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=∠BAD=90°-∠ABD=25°．考点：1．圆周角定理；2．平行线的性质．11.如图，，是的弦，，是的切线．若，则__．【答案】【解析】【分析】根据圆周角定理可得，根据切线的性质得出，根据四边形内角和定理即可求解．【详解】解：如图，连接，∵,，∴，∵是的切线，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，四边形内角和，掌握以上知识是解题的关键．12.某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到64万只．设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，则可列方程为___________．【答案】【解析】【分析】设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，根据题意列出方程即可求解．【详解】解：设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，则可列方程为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．13.已知a，b是方程的两个根，则的值是__．【答案】【解析】【分析】由根与系数的关系得，，然后整体代入即可．【详解】，是方程的两个根，，，，故答案为：，【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，运用了整体思想，掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．14.用半径为30，圆心角为120°扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________．【答案】10【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，则，解得：，故圆锥的底面半径为10．故答案为：10．【点睛】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握和弧长公式，难度不大．15.若关于的一元二次方程的两根分别为、，则方程的根为___________．【答案】##【解析】【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系以及函数的平移解题；【详解】解∵关于的一元二次方程的两根分别为、∴函数与轴的交点为，函数是由函数向右平移一个单位长度得到；∴函数与轴的交点为，∴关于方程的根为：故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的平移；熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．16.如图，是的弦，点在内，，，连接，若的半径是4，则长的最小值为____．【答案】##【解析】【分析】延长交圆于点，连接，，过点作交于点，则是等边三角形，再确定点在以为圆心，为半径的圆上，则的最小值为点C到圆E上一点的距离最小值，再求解即可．【详解】解：延长交圆于点，连接，，过点作交于点，，，，是等边三角形，，，，，，，点在以为圆心，为半径的圆上，在中，，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，解题的关键是根据定角定弦确定点的轨迹．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据配方法可进行求解方程；（2）先移项，然后根据因式分解法可进行求解方程．【小问1详解】解：∴；【小问2详解】解：∴或，∴．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．18.关于x的方程．（1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根．【答案】（1）见解析（2），【解析】【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式，即可证得；(2)首先根据一元二次方程根的判别式，即可求得m的值，再解方程，即可求解．【小问1详解】证明：，∵无论m取何值时，恒大于或等于0，∴原方程总有两个实数根；【小问2详解】解：∵原方程有两个相等的实数根，∴，解得，将代入原方程得，得，解得，∴原方程的根为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解法是解决本题的关键．19.如图，的弦相交于点E，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到，根据全等三角形的判定即可证明结论．【详解】证明：连接，∵，∴，∴，即，∴，在和中，，∴≌，∴．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．20.证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．已知：如图，是的直径，是的弦，___________．求证：___________．证明：___________【答案】，垂足为；，，；证明见解析【解析】分析】根据命题，补全条件、结论以及推导过程即可；【详解】已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，，垂足为；求证：，，证明：连接;在中，∴，【点睛】本题考查了命题推导的过程，垂径定理；以已知的基本事实、定理为依据推导出结论是解题的关键．21.某小区有一块长方形绿地，长为，宽为．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少米，宽增加米，使改造后的面积比原来增加，求的值．【答案】或【解析】【分析】根据“改造后的面积比原来增加”，列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：由题意得，整理，得，解得．答：的值为或．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．22.如图，在中，，与相切，且与相切于点C．（1）用直尺与圆规作出（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若，则的半径为_______【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）作的平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作，则与，都相切；（2）根据切线的性质和勾股定理，结合三角函数即可求的长．【小问1详解】如图，即为所求；【小问2详解】连接，与相切于点，，，，与相切于点，，，，，．故答案为：【点睛】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．23.如图，在中，平分平分的延长线交的外接圆于点D，连接．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据平分平分，可得．从而得到，进而得到，再由三角形外角的性质可得，即可求证．【详解】证明：∵平分平分，∴．∴和所对的圆心角相等．∴．∴．∴，∵，∴．∴．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．24.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．（1）下列方程是三倍根方程的是___________；①②③（2）若关于x的方程是“三倍根方程”，则c=___________；（3）若是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值．【答案】（1）③（2）（3）【解析】【分析】（1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解；（2）设关于x的方程的两个根为，然后根据“三倍根方程”可令，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解；（3）先把一元二次方程进行因式分解变形，然后根据“三倍根方程”的关系可进行求解．【小问1详解】解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；由可得：，满足“三倍根方程”的定义；故答案③；【小问2详解】解：设关于x的方程的两个根为，由一元二次方程根与系数的关系可知：，，令，则有，∴，，∴；小问3详解】解：由可得：，∴，令，则有：．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及解法，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．25.某商场销售一批球鞋，其进价为每双200元．经市场调查发现，按每双300元出售，平均每天可售出20双．假设球鞋的单价每降5元，商场平均每天可多售出10双．该商场若想平均每天盈利4800元，则每双球鞋的定价为多少元？【答案】230或280元【解析】【分析】设每双球鞋降价x元，每双鞋利润为销量为从而可得方程，列出即可求解．【详解】解：设每双球鞋降价x元，由题意，得整理，得解得∴定价为（元）（元）∴每双球鞋定价为230或280元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的已知条件，找出合适的等量关系，列出方程，即可求解．26.在四边形中，，E是上一点，以为直径的经过B，D两点，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）16【解析】【分析】（1）连接并延长交AB于点F，连接，．利用等弧所对的弦相等推出,再结合证明是垂直平分线，得出，，进而证明四边形是矩形，推出，即可证明是的切线；（2）先证是的中位线，推出，设的半径为r，用勾股定理解得，解得，两式联立解出r，即可求出的长．【小问1详解】证明：连接并延长交于点F，连接，．∵，∴,又∵，∴O、D都在的垂直平分线上．∴是垂直平分线，∴，．∵为的直径，∴．又∵，∴四边形是矩形．∴．又∵点D上，∴是的切线．【小问2详解】解：∵，，∴是的中位线，∴．设的半径为r，在中，，在中，；∴，解得，（舍去）．∴．【点睛】本题考查圆周角定理，矩形的判定与性质，切线的判定，三角形中位线的判定与性质，勾股定理解直角三角形等知识点，涉及知识点比较多，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识．27.为了解决一些较为复杂的数学