湘教版数学选修2-3模块综合检测

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是()A．56 B．65C.eq\f(5×6×5×4×3×2,2) D．6×5×4×3×2解析：选A.由分步乘法计数原理得5×5×5×5×5×5＝56.2.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,2k)，k＝1，2，…，n，则P(2<X≤4)为()A.eq\f(3,16) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,16) D.eq\f(5,16)解析：选A.P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＝eq\f(3,16).3.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种 B．63种C．65种 D．66种解析：选D.满足题设的取法可分为三类：第一类，四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1，3，5，7，9中，任意取4个，有Ceq\o\al(4,5)＝5(种)；第二类，两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2，4，6，8中任取2种，有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,4)＝60(种)；第三类，四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．4.某同学通过计算机测试的概率为eq\f(1,3)，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为()A.eq\f(4,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,27) D.eq\f(2,27)解析：选A.连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为p＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9).5.(ax＋1)7的展开式中，x3项的系数是x2项的系数与x5系数的等比中项，则a的值为()A.eq\f(5,3) B.eq\f(9,25)C.eq\f(25,9) D．1±eq\f(\r(10),5)解析：选C.(Ceq\o\al(4,7)a3)2＝Ceq\o\al(5,7)a2Ceq\o\al(2,7)a5，解得a＝eq\f(25,9).6.从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加C，D两科竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．24 B．48C．72 D．120解析：选C.分两类完成：第一类，甲参赛，有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)种参赛方案；第二类，甲不参赛，有Aeq\o\al(4,4)种参赛方案．所以共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＝72(种)不同的参赛方案．7.(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项为()A．－20 B．－15C．15 D．20解析：选C.设展开式的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(4x)r·(－2－x)6－r，即Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(－1)6－r·22rx·2rx－6x＝Ceq\o\al(r,6)·(－1)6－r·23rx－6x，∴3rx－6x＝0恒成立．∴r＝2，∴T3＝Ceq\o\al(2,6)·(－1)4＝15.∴选C.8.设n为自然数，则Ceq\o\al(0,n)2n－Ceq\o\al(1,n)2n－1＋…＋(－1)kCeq\o\al(k,n)2n－k＋…＋(－1)nCeq\o\al(n,n)＝()A．2nB．0C．－1D．1解析：选D.(2－1)n＝Ceq\o\al(0,n)2n＋Ceq\o\al(1,n)2n－1×(－1)＋Ceq\o\al(2,n)2n－2×(－1)2＋…＋Ceq\o\al(n,n)(－1)n＝Ceq\o\al(0,n)2n－Ceq\o\al(1,n)2n－1＋Ceq\o\al(2,n)2n－2－…＋(－1)nCeq\o\al(n,n)＝1n＝1.9.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是()A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点(eq\o( x,\s\up6(－))，eq\o( y,\s\up6(－)))解析：选D.因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A、B错误．C中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以C错误．根据回归直线方程一定经过样本中心点可知D正确．所以选D.10.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率的取值范围是()A．[0.4，1) B．(0，0.6]C．(0，0.4] D．[0.6，1)解析：选A.设事件A发生一次的概率为p，则事件A的概率可以构成二项分布，根据独立重复试验的概率公式可得Ceq\o\al(1,4)p(1－p)3≤Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2，即可得4(1－p)≤6p，p≥0.4.又0<p<1，故0.4≤p<1.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11.某劳动就业服务中心的7名志愿者准备安排6人在周六、周日两天在街头做劳动就业指导，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)解析：先从7人中选取3人排在周六，共有Ceq\o\al(3,7)种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有Ceq\o\al(3,4)种排法．∴共有Ceq\o\al(3,7)×Ceq\o\al(3,4)＝140(种)．答案：14012.xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))eq\s\up12(7)的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)解析：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))eq\s\up12(7)的展开式的通项是Tr＋1＝xCeq\o\al(r,7)x7－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,7)(－2)rx8－2r.令8－2r＝4，得r＝2，故x4的系数是Ceq\o\al(2,7)·4＝84.答案：8413.在某次学校的游园活动中，高二(2)班设计了这样一个游戏：在一个纸箱里放进了5个红球和5个白球，这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即为中奖，则中奖的概率是________．(精确到0.001)解析：设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝5，于是中奖的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(5,10))＋eq\f(Ceq\o\al(5,5),Ceq\o\al(5,10))≈0.103.答案：0.10314.随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a·(eq\f(1,3))k(k＝1，2，3)，则E(X)的值为________．解析：P(X＝1)＝eq\f(a,3)；P(X＝2)＝eq\f(a,9)；P(X＝3)＝eq\f(a,27)，所以eq\f(a,3)＋eq\f(a,9)＋eq\f(a,27)＝eq\f(13a,27)＝1，所以a＝eq\f(27,13).E(X)＝1×eq\f(1,3)×eq\f(27,13)＋2×eq\f(1,9)×eq\f(27,13)＋3×eq\f(1,27)×eq\f(27,13)＝eq\f(18,13).答案：eq\f(18,13)15.已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝________．解析：由已知P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(X>2)＝eq\f(1,2)×(1－0.4－0.4)＝0.1.答案：0.1三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分13分)水浒书业印刷部11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？解：将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类：第一类：只会印刷的4人全被选出，有Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(4,7)种；第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,6)种；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,5)种．所以共有Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,5)＝185(种)．17.(本小题满分13分)抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6)．(1)连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；(2)连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；(3)连续抛掷5次，求恰好出现3次向上的数为奇数的概率．解：(1)设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则P(A)＝eq\f(6×5,6×6)＝eq\f(5,6).(2)设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”．∵向上的数之和为6的结果有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)5种，∴P(B)＝eq\f(5,6×6)＝eq\f(5,36).(3)设C表示事件“抛掷5次，恰好出现3次向上的数为奇数”．∴P(C)＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,6)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,6)))eq\s\up12(3)＝eq\f(5,16).18.(本小题满分13分)某厂工人在2012年里有1个季度完成生产任务，则可得奖金300元；如果有2个季度完成生产任务，则可得奖金750元；如果有3个季度完成生产任务，则可得奖金1260元；如果有4个季度完成生产任务，则可得奖金1800元；如果工人四个季度都未完成任务，则没有奖金．假设某工人每季度完成任务与否是等可能的，求他在2012年一年里所得奖金的分布列及期望．解：设该工人在2012年一年里所得奖金为X，则X是一个离散型随机变量．由于该工人每季度完成任务与否是等可能的，所以他每季度完成任务的概率都等于eq\f(1,2)，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,16)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝300))＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,4)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝750))＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,8)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝1260))＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1)＝eq\f(1,4)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝1800))＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＝eq\f(1,16).∴其分布列为X030075012601800peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)E(X)＝0×eq\f(1,16)＋300×eq\f(1,4)＋750×eq\f(3,8)＋1260×eq\f(1,4)＋1800×eq\f(1,16)＝783.75(元)．eq\a\vs4\al(19.)(本小题满分12分)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，若用事件A、eq\o( A,\s\up6(－))分别表示甲、乙两厂的产品，用B表示产品为合格品．(1)试写出有关事件的概率；(2)求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率．解：(1)依题意，P(A)＝70%，P(eq\o( A,\s\up6(－)))＝30%，P(B|A)＝95%，P(B|eq\o( A,\s\up6(－)))＝80%.进一步可得P(eq\o( B,\s\up6(－))|A)＝5%，P(B|eq\o( A,\s\up6(－)))＝20%.(2)要计算从市场上买到的灯泡既是甲厂生产的(事件A发生)，又是合格的(事件B发生)的概率，也就是求A与B同时发生的概率，有P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.eq\a\vs4\al(20.)(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N＋)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.所以y关于n的函数解析式y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10n－8，n<16，,80，n≥16))(n∈N＋)．(2)①X可能的取值为60，70，80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为X607080p0.10.20.7X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X的方差D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585p0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.5＋75×0.16＋85×0.54＝76.4Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)<D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E(X)<E(Y)，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585p0.10.20.160.5