集合间的基本关系教学反思

《集合间的基本关系》教学反思集合间的基本关系是在前面学习了集合的概念、表示方法及集合与元素的关系后来研究集合之间的一种关系，它为后面学好集合的运算起着非常重要的作用。从事这一节教学时，我首先根据思考利用类比的思想引入集合之间有何关系，通过例子说明集合有包含相等等关系，引入本节课的内容。讲解子集、相等、真子集、空集概念时，让学生认真读概念，理解概念中的关键字。通过反例深刻理解概念中关键字并记住。同时，对概念的三种语言进行点明，概念用文字语言，符号语言及图形语言有机结合，逐步使学生由文字语言向符号语言、图形语言过渡。上课时我还注意将抽象概念与实例相结合，鼓励同学们积极发言，举例子来理解概念，尤其是空集的例子。学生大多举的是方程无解的例子。有的认为{0}是空集，组织学生讨论，让学生自己辩论后认为它不是空集，加深学生的理解。最后，我与学生共同将子集、相等、真子集等的性质进行了总结，还通过一一列举得出例子的推广，个元素组成的集合有个子集，个真子集，个非空子集等。通过本节课教学，有以下想法：如果让我重上这节课，我是否可以写出本节课三大知识点？子集，相等，真子集让学生自学，通过例子、各小组讨论，讲解概念、关键字，得出各自的性质。同时我在课堂更大限度的还给学生，充分发挥学生的主动积极性。

2019版新教材高中数学必修第一册1.2集合间的基本关系教学设计一、内容和内容解析1.内容集合之间的包含与相等的含义；子集、真子集与空集的概念；集合的Venn图表示.2.内容解析教科书关于集合安排了三节内容，第一节引入新的数学对象——集合，第二、三节研究这个数学对象.研究一个新对象时，类比已有的学习经验是一个好方法.本节类比实数，发现和提出“集合是否像实数一样具有相等关系、大小关系”的问题，抽象概括出包含关系，并从子集角度再认识相等关系.包含关系是集合的基本关系，包含关系和相等关系也都是从元素与集合之间的关系定义集合之间的关系.也就是说，当我们判断集合间关系时，其实是回归到了元素与集合的关系.明确了这一点，对于辨析属于关系、包含关系及理解其符号表示都是很有帮助的.如“”就是“对于任意

”.符号化是数学的重要特征.在集合的学习中，需要建立符号表示和数学意义之间的联系，Venn图则是梳理集合间的关系以及后面所学的运算的直观且有效的工具.通过各种问题，建立自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）之间的联系，有利于表示数学问题，也有助于提升学生数学抽象素养.结合以上分析，确定本节课的教学重点：集合间包含与相等的含义.二、目标和目标解析1.目标（1）理解集合之间的包含与相等的含义；（2）能识别给定集合的子集，了解空集含义；（3）能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）会通过类比实数间关系，发现和提出需要研究的问题；能从元素与集合间关系的角度，分析两个集合之间的包含与相等关系，并用符号语言、图形语言表示这些关系；体会到研究数学新对象的基本方法.（2）对于具体的集合，能写出集合的子集；能判断一个集合是否是另一个集合的子集；知道空集也是一个集合，以及空集与其他集合的关系.（3）在具体问题情景中，能根据需求进行自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）的转换，熟悉符号语言和图形语言的表述方式，并能有意识地使用符号语言表述数学对象，积累数学抽象经验.三、教学问题诊断分析学生在义务教育阶段数学学习中，已经接触过集合，对于数集、点集等有了一定的感性认识.从初中到高中，从直观到抽象，了解集合的含义及其性质，并不困难.难点在于两种关系的识别——元素与集合、集合与集合，特别是符号语言的表述，提升了这部分内容学习的抽象度，例如，{a}

A

与a∈A，A

B

与

B

A

、A

B

等.此外，对于空集这个特殊的集合，由于其本质特征“不含任何元素”无法用列举法或描述法直观地表达出来，所以用一个单独的符号“”来标记.看不见、摸不着，这也是让学生感到困难的原因.另外，空集也容易和一些集合混淆，比如集合“{0}”，“{0}”是含有一个元素的集合，集合中的元素是“0”，而

是不含任何元素的，因此

与{0｝之间的关系是{0}.本节课的教学难点是集合基本关系的符号表述及识别，对空集的了解.四、教学过程设计（一）概念的引入问题1：上一节我们学习了集合，对于这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么？用什么方法研究？师生活动：学生独立思考、讨论交流.教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，比如“实数”；然后指引学生回顾实数研究了哪些内容，如实数间的关系、实数的运算等；最后确定集合的研究问题：集合间的关系，集合的运算.设计意图：引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这种思考有助学生学会研究数学对象，学会发现问题和提出问题.这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法，通过类比实数关系、联想集合关系，提出要研究的问题.问题2：阅读教科书第7页“观察”,类比实数之间的相等关系、大小关系,集合与集合之间有哪些关系？师生活动：学生独立观察，充分思考，交流讨论.根据学生交流讨论情况，教师可以适时地选择以下问题进行追问.追问：（1）你从哪个角度来分析每组两个集合间的关系？（从元素与集合之间的关系来分析每组两个集合间的关系）（2）请用集合的语言归纳概括上述三个具体例子的共同特点.（在每组的两个集合中，第一个集合中的任何一个元素都是第二个集合中的元素）（3）上述三组集合中，前两组的两个集合间的关系与第三组的两个集合间的关系有什么不同之处？（不同之处是前两组集合中，集合B中有的元素属于集合A，有的元素不属于集合A；第三组集合中，集合A中的任何一个元素都属于集合B，反过来，集合B中的任何一个元素也都属于集合A）师生活动：教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果，抽象概括成数学定义，介绍子集、包含关系和相等关系.设计意图：让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，其中包括独立思考和交流讨论.这是一个提升学生数学抽象素养的时机.（二）概念的理解问题3：阅读教科书第7页观察之后至第8页思考之前的内容，你有什么疑问？师生活动：让学生独立阅读这段内容，然后分别提出自己感到困惑的问题.教师根据学生的回答情况，可以选择以下问题进行追问.追问：（1）举几个具有包含关系、相等关系的集合，并用符号语言和Venn图表示.（2）子集和真子集的区别与联系是什么？（3）什么是空集？举几个空集的例子.（4）与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，你对集合间的基本关系有什么体会？根据实数关系的其他结论，你还能猜想出哪些集合间关系的结论？师生活动：根据学生举例的情况，教师可以补充一些例子，帮助学生提升对概念的理解，比如集合“{0}”是否为空集等例子.根据追问的问题（4），教师可以引导学生获得教科书第8页的两个结论.设计意图：对于难度不大的内容，特别是符号比较多时，通过阅读，熟悉自然语言、符号语言和图形语言，并建立它们之间的对应关系；通过阅读，提出自己的困惑，学会质疑，深入理解概念；通过举例子，抽象概念具体化，深入理解概念.（三）概念的巩固应用例1写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.设计意图：巩固子集和真子集的概念和性质，体会分类的原则和方法，为保证不重不漏，要按照一定顺序写出子集，比如可以根据子集中元素的个数分类.例2判断下列各题中集合A

是否为集合B的子集，并说明理由：（1）A={1，2，3}，B={x|x是8的约数}；（2）A={x|x是长方形}，B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}.师生活动：学生判断，教师给出解答示范.设计意图：检验学生对子集概念的掌握情况，进一步明确判断两个集合之间关系的基本方法——定义法.练习：教科书第8页练习第1，2，3题.师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈.（四）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：（1）两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？（2）你是如何研究集合间基本关系的？（3）包含关系与属于关系有什么区别？比如{a}

A与a∈A？设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结.布置作业：教科书习题1.2第1，2，3题.五、目标检测设计1.用适当的符号填空：（1）0__{x|x2=x}；（2）-1__{x|x2=x}；（3）__{x|x2=x}；（4）{0}__{x|x2=x}；（5）{0，1}__{x|x2=x}.

设计意图：考查学生对符号语言的掌握程度.2.已知，写出满足条件的所有集合X.设计意图：考查学生对子集的概念、性质与符号的理解.—

END

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数学B版教材《集合之间的关系》的教学实践与思考一、对教材的认识集合是近现代数学的基础。一方面，许多重要的数学分支都建立在集合论的基础上；另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用。作为现代数学语言重要组成部分的集合语言，可以简洁、准确地表述数学对象和结构。学习用集合语言表示数学对象，可以发展学生运用数学语言进行交流的能力。正是认识到集合的重要性，人教社B版教材对于集合部分的编写精心设计，很有特色，不光突出集合作为语言的基础作用，更是将集合的思想渗透到各个模块中，如：用集合的分类思想指导各模块的教学；用“集合特征性质”来描述某些数学概念（轨迹、各类函数极其图象、向量的垂直条件等）；用集合的相关知识帮助学生理解概率的相关概念与运算。第一章《集合》单元是学生步入高中学习的第一部分，在小学和初中，数学课中使用的语言主要是自然语言，教学中经常要把数学中的符号语言翻译为自然语言让学生理解。但是，自然语言有一定的歧异性，有时也不够确切。这一章既是对小学和初中知识的进一步提升，又为后面使用集合的语言描述函数的概念做好了准备，为学生以后的学习和发展运用数学语言进行表达和交流的能力打下一定的基础。本章编写的一个亮点是《集合之间的关系》这一节，创造性的将“集合关系与其特征性质之间的关系”单独作为教学内容非常重要的一部分编进了教材。这节内容具有承上启下的作用，实际上，学生在小学和初中已接触过一些集合，如自然数集、有理数集、实数集、三角形集合、一元一次不等式的解集等等，只是没有这样叫而已，现在只是从集合的角度来重新审视原来所学的数与式的关系。这节《集合之间的关系》是对上一节所学的集合基本概念的深化、延伸，同时也是下一节集合运算的基础和前提，是用集合观点理清集合之间内在联系的桥梁和工具。B

版教材与其它教材相比，新增了“集合关系与其特征性质之间的关系”，由于缺少简易逻辑知识的支撑，所以大多数老师在教学中，直接删掉这部分内容。那么这样的处理是否恰当呢？我在认真研读课标和教材后，不仅没有删掉这部分内容，反而将这部分作为教学的重点内容之一。事实上，集合单元的核心是元素与集合之间的关系，集合之间的关系是通过元素与集合之间的关系来确定的，而元素与集合之间的关系就需要判断元素是否具有相应集合的特征性质，这样集合之间的关系自然就转化为相应的特征性质之间的关系，所以核心就是特征性质之间的关系。对这一部分内容的学习，能加深学生对子集概念的理解，能更好地认识到集合间关系的本质，从而学会抓住元素与集合之间的关系来研究问题。基于以上的认识和思考，我对《集合之间的关系》进行了如下教学设计：二、教学设计（一）教学目标：（1）结合具体实例，了解子集、真子集、两个集合相等的概念；（2）掌握有关子集、真子集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单集合间的关系，培养学生的符号表示的能力；（3）能使用韦恩图表达集合之间的关系，体会图形语言对理解抽象概念的作用；（4）会求已知集合的子集、真子集；（5）初步感受用集合的观点分析问题、解决问题。教学重点：子集的概念教学难点：集合关系与其特征性质之间的关系（二）教学方法教学是教与学不断融合的过程。刚上高一的学生，乐于探究，愿意与同学交流，有较强的表现欲，但思维不够严密，缺乏理性思维。我所教的实验班，学生基础相对较好，对数学有浓厚的兴趣，但思维的深度和广度均不够。我采用学生自主探究、小组合作、交流讨论与教师启发相结合的方法教学，目的是激发学生的学习兴趣，在教学中渗透类比的思想，在课堂上为学生创设新知识的展开过程，让学生体会新知识是由已有知识不断延伸的过程。（三）教学过程设计

教学过程分为：1类比已知，猜想未知

2引导探究，概念建构

3深化概念，理性认识

4类比联想，探究性质

5联系实例，巩固应用

6归纳小结，布置作业，共六个环节。具体的教学过程如下：1.

类比已知

猜想未知首先，我向学生提出如下问题：实数有相等关系，大小关系，如：5<7,7>3,5=5等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？结合以下集合的例子，说说你的想法。让学生类比熟悉的两个实数之间的关系，联想两个集合之间的关系。这种由某类事物已有性质，以类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质，是数学逻辑思考的重要思维方法。教学时，我抓住让学生充分思考和积极探索，并鼓励他们说出自己的想法。通过学生自己探究，提高学生发现规律，观察抽象的能力。这些集合例子将贯穿整节课的教学。为了突出这节课的教学重点：子集的概念，我考虑不在细枝末节花太多时间。此处所选集合例子简单明了；在教材例子的基础上，又补充了几个，通过较多实例和集合分组，更便于学生发现规律，同时所选集合涉及数、图形、方程、不等式、生活实际，既是对初中知识的提升，也是让学生体会到集合应用的广泛。2.

引导探究

概念建构学生分小组合作，探究出集合之间的关系：（1）M包含于N；（2）A包含于B；（3）A包含于B；（4）A包含于B；（5）Q包含于R；（6）B包含于A；（7）M

与P相等；（8）B包含于A。我及时纠正学生的错误表述。之后，我指出：“A

包含于B”通常集合A

叫做集合B

的子集，并进而提出如下问题：你能尝试给出子集的定义吗？我适时引导学生从元素和集合的关系去思考，从而得到：子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A

叫做集合B的子集，记作：

，

读作：A包含于B或B包含A。接下来，我向学生提出：如何将文字语言表述转化为符号语言表述？即

若任意x∈A,则AB结合第（1）组集合，给出韦恩图的概念。然后，请学生举出两个集合是子集关系的实例。在抽象出子集定义的过程中，使学生对集合的认识从感性认识上升到理性认识，进一步培养学生的抽象概括能力；将文字语言转化为符号语言，再给出图形语言，能让学生再一次理解集合的概念，并能体会到符号语言的简洁和图形语言的直观，与三种语言的转化。3.

深化概念

理性认识第（6）组集合，是学生容易出错的地方。也是一部分学生理解有障碍的地方。教师结合有理数集Q

，实数集R和北京市公民、中国公民的例子，讲解集合关系和特征性质之间的关系：可通过集合的特征性质来判断集合间的关系，也可通过集合间的关系推断特征性质之间的关系。即，因为x

是有理数

x

是实数所以

x∈Q

所以

QR让学生抽象出集合特征性质的关系与集合的关系之间的规律，并用于判断第（6）组集合之间的关系。判断集合之间的关系，关键是抓住元素与集合之间的关系，而要判断元素与集合之间的关系，就需要判断元素是否满足集合的特征性质，这样判断集合间的关系就转化为集合相应特征性质之间的关系，所以就可以通过特征性质的关系来判断。在此过程中，学生巩固了上一节学习的集合的描述法，加深了对子集概念的理解，体会到研究集合问题的思维核心是抓住元素与集合之间的关系。事实上，与列举法相比，运用特征性质的描述法适用范围更广。同时在判断特征性质构成的命题真假时，也是对学生逻辑思维的培养。我引导学生进一步看第（6）组集合，注意到B中还有一些元素不属于A

，从而得到真子集的概念。并进一步提出如下问题：能否用符号语言和图形语言来进一步刻画真子集的关系？并让学生举出真子集的例子。通过三种语言的转化，多角度理解概念。通过举例，评价学生是否理解概念。在此基础上，我进一步向学生提出如下问题：能否用子集的关系来表述两个集合相等？从而得到集合相等的概念。如果AB，又BA，则A=B；如果A=B，则AB，且BA在得到集合相等的概念之后，我还是让学生举出集合相等的例子。为了突出知识间的相互区别与联系，加深对子集概念的理解，我向学生提出了如下问题：子集、真子集、集合相等三者之间的关系？设A，B是两个集合，AB，AB，A＝B三者之间的关系是怎样的？4．类比联想

探究性质我向学生提出问题：实数有性质如：则，你能否类比实数的性质探究子集、真子集的有关性质？得出性质如下：（1）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．（2）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．（3）AA．（4）空集是任何非空集合的真子集．学生分小组自主探究，可通过举例，可通过定义（特征性质），可通过韦恩图。设计意图：再一次引导学生用类比的方法来得到新的知识，培养学生演绎推理能力，同时充分发挥学生的主动性，可采用多种途径，在不同方法中，深化对知识的理解，体会三种语言的转化。5.

联系实例

巩固应用例1、写出第（1）组中，集合M

和集合N

的所有子集和真子集同时可留课后思考题：你能找出“元素个数”与“子集数目”之间关系的规律吗？设计意图：巩固子集、真子集的概念，培养学生分类讨论的逻辑思维；例2、确定整数x、y，使。设计意图：这是一个逆向问题，学生不仅要能根据子集、真子集、集合相等的相关概念来判断集合间的关系，也要能根据集合间的关系，确定集合中的元素。6.

归纳小结

布置作业从知识和思想方法两方面小结本节课的收获，师生共同完善。知识：子集的概念，真子集的概念，集合相等的概念思想方法：利用子集概念判断集合间关系的方法，利用特征性质判断集合间关系的方法；

类比的方法；分类讨论的方法教师提升：三种语言的转化；类比的思想；逆向思维。设计意图：通过小结，让学生建立起知识间的联系，提高学生概括总结的能力。三、教学反思1、教学理念的体现新课标指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导积极自主探索、合作交流等学习数学的方式，应力求通过各种不同形式的自主学习，探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。本节课的设计力争体现新课标的基本理念。以“类比猜想-探究概念-概念深化-探究性质-巩固应用”为明线，“文字语言-符号语言-图形语言”为暗线，整节课的关键是通过元素和集合之间的关系来确