数学物理方程第二章(波动)

第二章波动方程§1方程的导出及其定解条件§2一维波动方程的初值问题§3半无界弦的自由振动问题§4高维波动方程的初值问题§5混合问题的分离变量法一、弦的自由振动方程的建立问题：均匀柔软且拉紧的细弦，在平衡位置附近作微小横振动，求不同时刻弦线的形状。§1、方程的导出及其定解条件分析与假设：1)柔软的细弦：弦上的任意一点仅有的张力且沿弦的切线方向。2)拉紧：指弦线在弹性范围内，服从虎克定律。3)横振动：指振动只有沿u轴方向的位移，可用u(x,t)表示。4)微小：指弦上各点位移与弦长相比很小，夹角很小，即用微元法及牛顿运动定律推导：横向：纵向：其中：得：其中：由：得：弦线无伸长，T不随时间变化，即………一维弦振动方程或一维波动方程令：------非齐次方程自由项------齐次方程忽略重力和外力作用：若在平面上放一个框架，其上一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，则用类似的方法可导出其运动规律满足称为二维波动方程或膜振动方程其中：u(x,y,t)表示在t时刻、膜在(x,y)

点处的位移f(x,y,t)表示单位质量所受的外力a2=T/：T表示张力、为线密度对三维波动方程或声波方程可写出为1、初始条件及柯西问题边界条件是弦在两个端点的状态或受到的约束情况，一般有三种2、边界条件及边值问题其中函数分别表示弦振动的初始位置和初始速度二、定解条件主要有初始条件和边界条件第一类边界条件：已知端点处弦的位移（运动规律）第二类边界条件：已知端点处弦所受的垂直于弦线的外力，第三类边界条件：已知具有弹性支承的端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力式中分别代表两端支撑的弹性系数，表示两端受到的外力,当外力为零时，表明弦固结在弹性支承上，有：3、混合问题§2、一维波动方程的初值问题

其特征方程为：得特征曲线：作变换：代入原方程可化为：从而：一、达朗贝尔公式无界弦的自由振动问题：一维波动方程的达朗贝尔公式

代回原变量：利用初始条件：积分得：解：将初始条件代入达朗贝尔公式例1：解定解问题例2、求解Cauchy问题解：原方程的特征方程为令：故两特征线是：原方程化为：其通解为：带回原变量得：利用初值条件得：积分得：联立求解得：即：带回u得：结论：达朗贝尔解表示沿x

轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。代表以速度a沿x

轴正向传播的波，称为正行波代表以速度a沿x轴负向传播的波，称为反行波二、解的物理意义影响区域决定区域依赖区间特征线特征变换行波法又叫特征线法几个相关概念一点的影响区域三、非齐次问题的处理利用叠加原理将问题进行分解：齐次化原理：若是满足下述定解问题的解：则：对u2可利用齐次化原理求解是下述定解问题的解从而原问题的解为令：为求解定解问题化为：§3、半无界弦的自由振动问题

一、一端固定定解问题为将边界条件代入达朗贝尔公式，得由初速度和初始位移的独立性，得故两函数应为奇函数，可作奇延拓如下于是原定解问题变为一维波动方程的初值问题由达朗贝尔公式得所以得解：二、一端自由定解问题为类似的，将边界条件代入达朗贝尔公式，得由初速度和初始位移的独立性，得故两函数应为偶函数，可作偶延拓如下于是原定解问题变为一维波动方程的初值问题由达朗贝尔公式得所以得解：§4高维波动方程的初值问题一、三维波动方程的球平均法考虑柯西问题改写一维达朗贝尔公式上两式恰是两函数在以x为中心，以at为半径的区域上的算术平均值。在以p为中心，以at为半径的球面上作初始函数和的平均值，分别为：于是问题的形式解就应该是：其中S代表以P为中心，以r=at为半径的球面，上式称为三维波动方程柯西问题的泊松公式，此法也称为球面平均法pr为计算方便，可将公式化为球坐标下的累次积分，球面的方程为设M为球面上的点，则有pr解：将初始条件代入泊松公式得例：求解三维波动方程二、二维波动方程的求解-降维法二维波动方程的初始问题其解u(x,y,t)可看成是三维柯西问题解u(x,y,z,t)与z无关的量由三维公式得由于初始函数是与z无关的柱函数，故在球面上的积分可化为球面在z=0平面上投影区域上的积分由