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微专题3不等式恒成立、能成立问题第二章一元二次函数、方程和不等式在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养一、“Δ”法解决恒成立问题例11已知不等式2＋2－＋2<0恒成立，求实数的取值范围；解当＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意当≠0时，令y＝2＋2－＋2，由y<0恒成立，∴其图象都在轴的下方，即开口向下，且与轴无交点综上，实数的取值范围是{|－1<≤0}2若不等式－2＋2＋3≤a2－3a对任意实数恒成立，求实数a的取值范围解原不等式可化为2－2＋a2－3a－3≥0，∵该不等式对任意实数恒成立，∴Δ≤0，即4－4a2－3a－3≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4，∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}反思感悟1如图①，一元二次不等式a2＋b＋c>0a≠0在R上恒成立⇔一元二次不等式a2＋b＋c>0a≠0的解集为R⇔二次函数y＝a2＋b＋ca≠0的图象恒在轴上方⇔ymin>0⇔2如图②，一元二次不等式a2＋b＋c<0a≠0在R上恒成立⇔一元二次不等式a2＋b＋c<0a≠0的解集为R⇔二次函数y＝a2＋b＋ca≠0的图象恒在轴下方⇔yma<0⇔二、数形结合法解决恒成立问题例2当1≤≤2时，不等式2＋m＋4<0恒成立，求m的取值范围解令y＝2＋m＋4∵当1≤≤2时，y<0恒成立∴2＋m＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2∴m的取值范围是{m|m<－5}反思感悟结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，端点的函数值或函数图象的位置相对于轴关系求解可结合相应一元二次方程根的分布解决问题三、分离参数法解决恒成立问题例3设函数y＝m2－m－1,1≤≤3，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围解y<－m＋5恒成立，即m2－＋1－6<0恒成立，反思感悟通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题四、主参换位法解决恒成立问题例4已知函数y＝m2－m－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数的取值范围解y<0⇔m2－m－6＋m<0⇔2－＋1m－6<0∵1≤m≤3，反思感悟转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解五、利用图象解决能成立问题例5当1<<2时，关于的不等式2＋m＋4>0有解，则实数m的取值范围为_____________{m|m>－5}解析记y＝2＋m＋4，则由二次函数的图象知，不等式2＋m＋4>01<<2一定有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5反思感悟结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决六、转化为函数的最值解决能成立问题解∵2－2＋3＝－12＋2>0，∴4＋m≥22－2＋3能成立，∴m≥22－8＋6能成立，令y＝22－8＋6＝2－22－2≥－2，∴m≥－2，∴m的取值范围

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