第八章微专题七市赛一等奖

微专题七圆锥曲线中性质的推广大一轮复习讲义一道解析几何试题的命题背景可能就是圆锥曲线的一个性质定理的特殊情况如果掌握了定理的原理，也就把握了试题的本质对一些典型的试题，不应满足于会解，可以引导学生深入探究试题背后的知识背景，挖掘问题的本质这样才能真正找到解决问题的方法，学会用更高观点去看待数学问题，把握问题的本质真题研究一、试题展示题12018·全国Ⅰ如图1所示，设抛物线C：y2＝2，点A2,0，B－2，0，过点A的直线l与C交于M，N两点1当l与轴垂直时，求直线BM的方程；解当l与轴垂直时，l的方程为＝2，可得点M的坐标为2,2或2，－2即－2y＋2＝0或＋2y＋2＝02证明：∠ABM＝∠ABN证明当l与轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN当l与轴不垂直时，设l的方程为y＝－2≠0，M1，y1，N2，y2，则1>0，2>0所以BM＋BN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN综上，∠ABM＝∠ABN题22018·全国Ⅰ设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为2,01当l与轴垂直时，求直线AM的方程；解由已知得F1,0，l的方程为＝12设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB证明当l与轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°当l与轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB当l与轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝－1≠0，A1，y1，B2，y2，由题意知Δ>0恒成立，从而MA＋MB＝0，故MA，MB的倾斜角互补所以∠OMA＝∠OMB综上，∠OMA＝∠OMB点评以上两题是2018年高考全国Ⅰ卷解析几何题的倒数第二题，是选拔题第1问根据直线方程的求法，多数学生都能完成，第2问是个探索性问题，重点考查用坐标法研究圆锥曲线中的定点定值问题，考查数形结合、函数方程、分类讨论等基本数学思想，同时考查综合运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力，综合考查学生的运算能力和数学素养本题的呈现形式“平易近人”，是平面几何中的角平分线问题，但本题的解决过程却充分体现了坐标法的思想，可以将等角的几何关系式转化为坐标代数关系式，然后再用坐标法来处理本题看起来很平常，实际上却背景丰富，有一定难度和区分度，也有很大的数学价值和研究空间，我们重点研究第二小问的相关性质二、性质研究性质1如图3所示，已知抛物线y2＝2,0m>0，设不与轴垂直的直线l与抛物线相交于M，N两点，则直线l过定点Am,0的充要条件是轴是∠MBN的角平分线图3证明先证明必要性：设不与轴垂直的直线l的方程为y＝－m≠0，代入y2＝2＋22＝0所以∠ABM＝∠ABN，所以轴是∠MBN的角平分线再证明充分性：设不与轴垂直的直线l的方程为y＝＋b≠0，代入y2＝21，y1，N2，y2，因为∠ABM＝∠ABN，即y12＋m＋y21＋m＝0再将y1＝1＋b，y2＝2＋b代入上式，得1＋b2＋m＋2＋b1＋m＝0，即212＋b＋m1＋2＋2mb＝0， ②将①式代入②式，得2b2＋2b＋mb2＝0，整理得b＝－m，此时Δ>0，直线l的方程为y＝－m，所以直线l过定点Am,0图4证明先证明必要性：设不与轴垂直的直线l的方程为y＝－m≠0，整理得a22＋b22－2ma22＋a22m2－b2＝0设A1，y1，B2，y2，所以∠OMA＝∠OMB，所以轴是∠AMB的角平分线再证明充分性：设不与轴垂直的直线l的方程为y＝＋t≠0，设A1，y1，B2，y2，整理得t＝－m此时Δ>0，所以直线l的方程为y＝－m，所以直线l过定点,0图5图6证明当直线l垂直于轴时，易得，整理得a22＋b22－2ma22＋a22m2－b2＝0设P1，y1，Q2，y2，则由根与系数的关系得性质6已知抛物线y2＝2,0，B－m