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文档简介
导入新课复习上一节课,我们借助“类比思想”把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间认真回顾已学知识1加法法则及减法法则平行四边形法则或三角形法则2运算律加法交换律及结合律两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的312空间向量的数乘运算知识要点1空间向量数乘运算的定义与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘(multiplicationofvetorbysalar)运算(1)结果仍然是一个向量;(2)方向:当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反;当λ=0时,λa是零向量0;(3)大小:λa的长度是a长度的|λ|倍aaλa(λ>0)λa(λ<0)2数乘运算的运算律显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律知识要点(1)λa与a之间是什么关系?(2)λa与a所在直线之间的关系?思考!对于空间向量的数乘运算的运算律的证明,方法与证明平面向量数乘运算的运算律类似3共线向量(或平行向量)的定义表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量(collinervectors)或平行向量(parallelvectors)记作知识要点(1)向量平行与直线平行的比较;(2)关注零向量;(3)对空间任意两个向量a与b,如果,那么a与b有什么相等关系反过来呢思考!零向量与任何向量平行(1)当我们说a,b共线时,表示a,b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线,也可能是平行线;(2)当我们说a//b时,也具有同样的意义知识要点4共线向量基本定理对于空间任意两个向量a,bb≠0,a//b的充要条件是存在实数λ,使a=λb(1)b≠=0,则a=0,λ不唯一;(2)若a//b,b//c,则a一定平行于c吗?(不一定,考虑中间向量为零向量)5共线向量基本定理的推论如图,l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,对于空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OP=OAta1aPB其中向量a叫做直线l的方向向量(directionvector)在l上取AB=a,则1式可化为OP=(1-t)OA+tOB.
(2)说明:1,2都叫做空间直线的向量参数表示式由此可知,空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定6共面向量定义平行于同一平面的向量,叫做共面向量(coplanarvectors)空间任意两个向量总是共面的,但空间任意三个向量既可能是共面的,也可能是不共面的知识要点7共面向量的定理如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(、y),使p=ayb8共面向量的定理的推论空间一点AB内的充分必要条件是存在有序实数对、y,使MAyMB或对空间任一定点O,有OMAyMBMaAbBA'pP对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,试问满足向量关系式(其中y=1)的四点P、A、B、C是否共面?探究原式可以变形为解答所以,点P与点A,B,C共面如下图,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD,在四条射线上分别取点E、F、G、H,并且使例题求证:四点E、F、G、H共面分析:欲证E,F,G,H四点共面,只需证明EH,EF,,AB,AC共面来证明证明:因为所以OE=OA,OF=OB,OG=OC,OH=OD由于四边形ABCD是平行四边形,所以AC=ABAD解答继续由向量共面的充要条件知E,F,G,H四点共面因此课堂小结1空间向量的数乘运算2空间向量的数乘运算的运算律满足分配律及结合律3共线向量与共面向量
共线向量
共面向量定义向量所在直线互相平行或重合.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用判断三点共线,或两直线平行判断四点共面,或直线平行于平面共面课堂练习1选择(1)若对任一点O和不共线的三A,B,C,且有则y=1是四点P、A、B、C共面的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件C(2)对于空间任意一点O,下列命题正确的是()A若,则P、A、B共线B若,则P是AB的中点C若,则P、A、B不共线D若,则P、A、B共线A(3)下列命题正确的是()A若a与b共线,b与c共线,则a与c共线B向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面C零向量没有确定的方向D若a//b,则存在唯一的实数λ使得a=λbCA中向量b为零向量时要注意,B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样,不为零向量答案C点
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