班用样本的数字特征估计总体的数字特征

222用样本的数字特征估计总体的数字特征知识点一众数、中位数、平均数1众数、中位数、平均数定义1众数：一组数据中出现次数的数2中位数：把一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在位置的数或中间两个数的叫做这组数据的中位数3平均数：如果n个数1，2，…，n，那么＝叫做这n个数的平均数最多中间平均数名称优点缺点众数①体现了样本数据的最大集中点；②容易计算①它只能表达样本数据中很少的一部分信息；②无法客观地反映总体的特征中位数①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；②容易计算，便于利用中间数据的信息对极端值不敏感平均数代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大2三种数字特征与频率分布直方图的关系众数众数是

的中点所对应的数据，表示样本数据的众数的估计值中位数(1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积应该

，由此可以估计中位数的值；(2)表示样本数据所占频率的等分线平均数(1)平均数等于每个小矩形的面积乘

之和；(2)平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点最高长方形相等小矩形底边中点的横坐标一、众数、中位数、平均数的计算例11某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为A85,85,85 B87,85,86C87,85,85 D87,85,90√2以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩单位：分已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为168，则，y的值分别为A2,5B5,5C5,8D8,8√解析结合茎叶图上的原始数据，根据中位数和平均数的概念列出方程进行求解由于甲组数据的中位数为15＝10＋，所以＝5所以y＝8，所以，y的值分别为5,8反思感悟平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算2某中学举行英语演讲比赛，如图是七位评委为某位学生打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的中位数和平均数分别为A84,85 B85,84C84,852 D86,85√解析剩余数据为：84,84,86,84,87，则中位数为84，故答案为A方差、标准差标准差、方差的概念及计算公式1标准差是样本数据到平均数的一种，一般用s表示s＝

2标准差的平方s2叫做方差s2＝n是样本数据，n是样本容量，是样本平均数3标准差或方差越小，数据越稳定在平均数附近s＝0时，每一个样本数据均为平均距离二、标准差、方差的计算及应用例2甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,51分别计算以上两组数据的平均数；2分别求出两组数据的方差；3根据计算结果，估计两名战士的射击情况若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？反思感悟1方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小2样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散3当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数据分布情况，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的跟踪训练2甲、乙两种冬小麦实验品种连续5年的平均单位面积产量如下单位：t/m2：

第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8若某村要从中引进一种冬小麦大量种植，给出你的建议甲、乙两种冬小麦的平均产量都等于10跟踪训练11在某次测量中得到的A样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减8后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是A平均数B标准差C众数D中位数√所以A，B两样本的下列数字特征：平均数，众数，中位数都不同，②数据1＋a，2＋a，…，n＋a的方差也为s2；③数据a1，a2，…，an的方差为a2s2；④数据a1＋b，a2＋b，…，an＋b的方差也为a2s2，标准差为as频率分布直方图与数字特征的综合应用典例某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩均为整数的频率分布直方图如图所示1估计这次测试数学成绩的众数；2估计这次测试数学成绩的中位数解设中位数为，由于前三个矩形面积之和为04，第四个矩形面积为03,03＋04＞05，因此中位数位于第四个矩形内，得01＝003－70，所以≈733延伸探究1若本例条件不变，估算这次数学成绩的平均分解由题干图知这次数学成绩的平均分为45×0005×10＋55×0015×10＋65×002×10＋75×003×10＋85×0025×10＋95×0005×10＝722本例条件不变，求80分以上含80分的学生人数解[80,90分的频率为0025×10＝025，频数为025×80＝20分的频率为0005×10＝005，频数为005×80＝4所以80分以上的学生人数为20＋4＝243随堂演练PARTTHREE平均数方差中位数命中9环及以上甲71．271乙75．47．53探究点2方差、标准差的特征1下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一个是A中位数可以准确地反映出总体的情况B平均数可以准确地反映出总体的情况C众数可以准确地反映出总体的情况D平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况√12345样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,样本数据每个都加2后所得的数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是A众数 B平均数C中位数 D标准差√123453已知一组数据为－3,5,7，,11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是A7 B5C6 D11√12345解析由这组数据的众数为5，可知＝5把这组数据由小到大排列为－3,5,5,7,11，则可知中位数为54某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为94,94，94，96,97，则该射手成绩的方差是A0127 B0016C0080 D0216√123455从某中学高三年级甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩满分为100分的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分和乙班学生成绩的中位数都是85，则＋y的值为A7B8C9D1012345√解析根据题意，知乙班学生成绩的中位数是85，所以y＝5因为甲班学生成绩的平均分为85，所79＋78＋80＋80＋＋85＋92＋96＝85×7，解得＝5，所以＋y＝1知识清单：1众数、中位数、平均数的应用2方差、标准差的计算及应用3频率分布直方图与样本的数字特征2方法归纳：直接法、比较法3常见误区：公式、结论记忆不准确；不清楚频率分布直方图和数字特征的关系课堂小结ETANGIAOJIE4课时对点练PARTFOUR2＝中，数字10和20分别表示样本的A容量、方差 B平均数、容量C容量、平均数 D标准差、平均数√基础巩固12345678910111213141516解析由方差s2的定义知，10为样本的容量，20为样本的平均数2某校高一年级8个班合唱比赛的得分如下：89,87,93,91,96,94,90,92，这组数据的中位数和平均数分别为A915和915 B915和92C91和915 D92和92√解析这组数据从小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，位于中间位置的两个数是91,92，123456789101112131415163在如图所示的一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为A1B3C2D4√解析该组数据的极差为48－20＝28，设被污染的数字为，若≤1，同理可排除≥4，所以1<<4，123456789101112131415164现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是A1 B2C3 D412345678910111213141516√510名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有Aa＞b＞c Bb＞c＞aCc＞a＞b Dc＞b＞a√12345678910111213141516解析由数据可知众数c＝17，中位数b＝15，∴c＞b＞a，故选D1，2，…，n的方差为5，则31－4，32－4，…，3n－4的方差为______12345678910111213141516457已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为_____，方差为_____5解析∵－1,0,4，,7,14的中位数为5，123456789101112131415168已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,137,183,21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab＝______12345678910111213141516100解析由题意得a＋b＝10×2＝20，要使该总体的方差最小，方差化简后即满足a－102＋b－102最小，故a＝b＝10，ab＝1009甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：99100102991001001分别计算两组数据的平均数及方差；1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415162根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定甲：9910098100100103乙：9910010299100100解两台机床所加工零件的直径的平均数相同，10某校100名高二学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60，1求图中a的值；解依题意，得10×2×0005＋a＋003＋004＝1，解得a＝0022根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分解这100名学生语文成绩平均分为55×005＋65×04＋75×03＋85×02＋95×005＝73分1234567891011121314151611某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示其中m为数字0～9中的一个，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有Aa1>a2 Ba2>a1Ca1＝a2 Da1，a2的大小与m的值有关√综合运用解析由茎叶图知，1234567891011121314151612多选甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差12345678910111213141516√√解析由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错误；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B正确；甲、乙的成绩的极差均为4，D错1234567891011121314151613如图是两组各7名同学体重单位：g数据的茎叶图，设1,2两组数据的平均数依次为1和2，标准差依次为，那么12345678910111213141516√解析读取茎叶图得到两组数据分别为1组：53,56,57,58,61,70,72；2组：54,56,58,60,61,72,731234567891011121314151614某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为____；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1020小时，980小时，1030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为_______小时501015解析由分层抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50件由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为1020×50%＋980×20%＋1030×30%＝1015小时1234567891011121314151615甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮，每轮甲、乙各投篮10次，投篮命中次数的情况如图所示实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图，则以下说法错误的是A甲投篮命中次数的众数比乙的小B甲投篮命中次数的平均数比乙的小C甲投篮命中次数的中位数比乙的大D甲投篮命中的成绩比乙的稳定拓广探究√12345678910111213141516解析由折线图可知，甲投篮5轮，命中的次数分别为5,8,6,8,8，乙投篮5轮，命中的次数分别为3,7,9,5,9，则甲投篮命中次数的众数为8，乙投篮命中次数的众数为9，所以A正确；甲投篮命中次数的平均数为7，乙投篮命中次数的平均数为66，所以B不正确；甲投篮命中次数的中位数为8，乙投篮命中次数的中位数为7，所以C正确；甲投篮命中次数的数据集中在平均数的左