幂函数省赛一等奖

幂函数我们先来看看几个具体的问题:1如果张红买了每千克1元的蔬菜千克,那么她需要支付__________2如果正方形的边长为,那么正方形的面积_____3如果立方体的边长为,那么立方体的体积___________4如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长一引入5如果某人s内骑车行进1m,那么他骑车的平均速度以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1;

上述问题中涉及的函数，都是形如y=a的函数。

y=x

y=x2

y=x3

y=x1/2

y=x-11幂函数的定义：形如y=a的函数叫做幂函数，其中a是常数且a∈R。2幂函数的定义域：是使a有意义的实数的集合。随a的不同而不同。

理论

式子

名称

a(常数）X(自变量)Y(函数值)

幂函数:y=xa

指数底数幂值幂函数判断一个函数是幂函数切入点看看未知数是不是底数幂函数（不是幂函数）（幂函数）（不是幂函数）（幂函数）快速反应（不是幂函数）（幂函数）判断下列函数是否为幂函数.(1)y=x4(3)y=-x2(5)y=2x2(6)y=x3+2

×∨∨∨××

练习例题1讲解：这种方法叫待定系数法练习：五个常用幂函数的图像和性质

(1)(2)

(3)(4)(5)定义域：值域：奇偶性：单调性：函数y=的图像和性质定义域：值域：奇偶性：单调性：函数y=2的图像和性质定义域：值域：奇偶性：单调性：函数y=-1的图像和性质x…-2-101234…y=x3……y=x1/2……-8-101827010y1234-1-2-32468-2-4-6-8y=3//64y=x2定义域：值域：奇偶性：单调性：函数y=3的图像和性质定义域：值域：奇偶性：单调性：名称图象定义域

值域奇偶性单调性

Oxy11-1-1Oxy11-1-1Oxy11-1-1Oxy11-1-1RRR[0，∞）奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在-∞,0上是减函数，在0,∞上是增函数在R上是增函数在R上是增函数在[0,∞上是增函数在-∞,0，0,∞上是减函数Oxy11-1-1-∞,0∪0,∞R[0，∞）[0，∞）-∞,0∪0,∞R2、在第一象限内，α>0,在0,∞上为增函数;α<0,在0,∞上为减函数1、所有幂函数在0，∞上都有定义，并且图象都通过点1,13、α为奇数时,幂函数为奇函数,α为偶数时,幂函数为偶函数α>10<α<1a=1１所有幂函数的图象都通过点1,1;幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同如果α<0,则幂函数在0,∞上为减函数。α<03如果α>0,则幂函数在0,∞上为增函数;2当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数幂函数性质：a<0a>10<a<10xy11归纳：幂函数y=a在第一象限的图象特征a=1理论指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1,在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0,在第一象限为水平的射线；指数小于0,在第一象限为双曲线型；判断下列各值的大小。（1）5208与5308（2）0203与0303325-2/5与27-2/5解:1y=08在0,∞内是增函数,∵52<53∴5208<53082y=03在0,∞内是增函数∵02<03∴0203<03033y=-2/5在0,∞内是减函数∵25<27∴25-2/5>27-2/5例题2讲解：证明幂函数在［0，∞）上是增函数复习用定义证明函数的单调性的步骤:1设1,2是某个区间上任意二值，且1＜2;2作差f1－f2，变形;3判断f1－f2的符号；4下结论证明:任取所以幂函数在［0，∞）上是增函数例题3讲解：证法二:任取1,2∈［0，∞）,且1<2；证明幂函数在［0，∞）上是增函数1作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。2作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出ｆ1<ｆ2。即所以幂函数定义五个特殊幂函数图象基本性质本节知识结构: