校本课程二《正弦定理的应用》

正弦定理讨论已知两边和一边对角的斜三角形的解：A为钝角或直角A为锐角a＞ba≤ba≥ba＜bsinAa=bsinAa＞bsinA一解无解一解无解一解两解A的范围a,b关系解的情况（按角A分类）

,b和角Ａ，求其他边和角．Ａ为锐角a<bsinA无解a=bsinA一解bsinA<a<b两解一解a≥bＡ为直角或钝角a>b一解a≤b无解ＡＢＣbaＡＣbaＡＣabＡＢＣabＡＢ１Ｂ２ＣabＡＢＣab2三角形常用面积公式1S＝a·haha表示边a上的高；2S＝absinC＝＝；3S＝ra＋b＋cr为三角形内切圆半径acsinBbcsinA

1教材改编在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于答案解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，①证明：sinAsinB＝sinC；证明则a＝sinA，b＝sinB，c＝sinC，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sinA＋B在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sinA＋B＝sinπ－C＝sinC所以sinAsinB＝sinC

答案解析边化角答案解析题型二和三角形面积有关的问题例22016·浙江在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，＋c＝2acosB1证明：A＝2B；证明由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sinA＋B＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sinA－B又A，B∈0，π，故0＜A－B＜π，所以B＝π－A－B或B＝A－B，因此A＝π舍去或A＝2B，所以A＝2B解答由sinB≠0，得sinC＝cosB

题型三正弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状例31在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形答案解析即sinA＋B<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形

2设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sinB＋C＝sin2A，即sinπ－A＝sin2A，sinA＝sin2A∵A∈0，π，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝，∴△ABC为直角三角形引申探究1例32中，若将条件变为2sinAcosB＝sinC，判断△ABC的形状解答∵2sinAcosB＝sinC＝sinA＋B，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosBsinA，∴sinA－B＝0，又A，B为△ABC的内角∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形命题点2求解几何计算问题解答例42015·课标全国Ⅱ如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC思维升华1判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论2求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理

跟踪训练31在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－acosB＝2a－bcosA，则△ABC的形状为A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形答案解析∵c－acosB＝2a－bcosA，C＝π－A＋B，∴由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴cosAsinB－sinA＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴A＝或B＝A或B＝π－A舍去，∴△ABC为等腰或直角三角形22015·课标全国Ⅰ在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是答案解析如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF<AB<BE在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，

题型三正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状例31在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形答案解析即sinA＋B<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形练习2、在ABC中，若a=2bsinA，则B＝()A、B、C、D、或或练习1、在ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a:b:c＝()