新编新人教A版《函数的单调性与最值》导学案

新编人教版精品教学资料函数的单调性与最值学习目标：1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性;2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。学习重难点：重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。难点：函数单调性的判断与证明。1.教材助读：观察函数 f(x)=x,2f(x)=x的图象(1).(1).f(x)=x的图象是(上升)的，f(x)=x2的图象在y轴左侧是的，从左至右看函数图象的变化规律(2).f(x)=x在(㈤,〜)上，f(x)随着x的增大而(增大)；f(x)=x2在(-00,0］上，f(x)随着x的增大而;在(0,~)上，f(x)随着x的增大而在y轴右侧是的.函数的单调性：一般的，设函数 y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值 xi,x2,当x1<X2时，都有,那么就说f(x)在区间D上是增函数.如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间 D叫做丫="刈的.探究提升例1. 下图是定义在闭区间 卜5,5］上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出 y=f(x)的单调区间，以及在每一区间上，y=f(x)是增函数还是减函数解：函数y=f(x)的单调区间有：在区间,上是减函数在区间,上是减函数。小结：图象法是研究函数单调性的方法之一练习1.如图，已知y=f(x)的图象(包括端点),根据图象说出函数的单调区间 ，以及在每区间上，函数是增函数还是减函数.例2.证明函数 f(x)=2x+1在区间(-g,+g)上是增函数

证：设Xi,X2是区间（-笛，+七）内任意两个实数，且贝f（K）—f（X2）= :X1二x2 x1-x20f(Xi)-f(X2)<0即函数在区间上是总结：用定义法证明函数的单调性 “五步曲”： 注意：下结论要强调三点：（1）哪个函数？ （2）在哪个区间 （3）是增（减）函数1一 练习2.判断函数f（X）=-在（0,+b）是增函数还是减函数？证明你的结论。X1 .一解：函数f（X）=一的图象如图所示：X1由图可知f（X）=一在（0,十无）上是X证明如下：练习3判断函数f(x)=x2+1在(0,+8)上是增函数还是减函数？并给予证明。-2-1Ay-2-1Ay2-例3、物理学中的玻意耳定律P=^(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定白^区间D上的单调性的一般步骤：① 任取 X1, X2€D,且 X1<X2；② 作差 f(x1)—f(x 2);③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负)；⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定白区间D上的单调性)

三.课后作业.函数f（x）=（k+1）x—3在（_啊+w）上单调递减，则k的取值范围是（D）A.k>0 B.k<0 C.k>-1 D.k<-1.已知函数f（x）在（一2,3）上是减函数，则有（C）A.f(-1)<f(0)B.f(0)<f(2)C. fA.f(-1)<f(0)B.f(0)<f(2)C. f⑴<f(0) D.f(-1)<f⑴3.若函数3.若函数f（x）定义在［―1,3］上，且满足f（0）<f（1）则函数f（x）在区间［—1,3］的单调性（A）增函数（B）减函数（A）增函数（B）减函数（C）先减后增（DD无法判断其单调性单调减区间是单调减区间是，…一一一一 1单调减区间是单调减区间是4.判断正误：函数f（x）=—,x在（-°0,0止为减函数（V）（-叼0Q（0尸）（x）在（—吗0比为增函数（x）（-°0,0和（0,收）（V）§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）学习目标.理解函数的最大（小）值及其几何意义；.学会运用函数图象理解和研究函数的性质学习过程一、课前准备（预习教材P30~P32,找出疑惑之处）复习1:指出函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的单调区间及单调性，并进行证明复习2：函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的最小值为_ 2f(x)=ax+bx+c(a<0)的取大值为.复习3：增函数、减函数的定义及判别方法 .二、新课导学派学习探究探究任务：函数最大(小)值的概念思考：先完成下表，函数最局点最低点f(x)=—2x+3f(x)=-2x+3,x€[-1,2]2f(x)=x2+2x+1- 2一f(x)=x+2x+1,xW[-2,2]讨论体现了函数值的什么特征?新知：设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：对于任意的xCI,都有f(x)wM存在xoCI,使得f(xo)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值(MaximumValue).试试：仿照最大值定义，给出最小值(MinimumValue)的定义.反思：一些什么方法可以求最大(小)值？X典型例题例1一枚炮弹发射，炮弹距地面高度 h(米)与时间t(秒)的变化规律是h=130t-5t2,那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？解：h是关于t的二次函数，当t=13秒时，h取得最大值，最大值为845米

小结：数学建模的解题步骤：审题一设变量一建立函数模型一研究函数最大值 ^2 一..一..例2例2.（教材Ri例4）求函数y=——在区间[2,6]上的最大值和最小值.X-1解：（略）小结：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值^试试：函数y=（x+1）2+2,x^[0,1]的最小值为,最大值为.如果是xW[—2,1]呢？X动手试试练1.用多种方法求函数y=2x+Jx—1最小值.房价（元）住房率（衿16055140651207510085练2.一个星营，经理得到欲使每天的的练2.一个星营，经理得到欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为 160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系.设y为旅馆一天的客房总收入， x为与房价160相比降低的房价,x因此当房价为（160-x）元时，住房率为（55+——10）%,于是得20xy=150-（160-x）-（55+—10）%.20. x由于（55+—10）%<1,可知0Wx<90.20因此问题转化为：当0wxw90时，求y的最大值的问题.将y的两边同除以一个常数0.75,得y1=—x2+50x+17600.由于二次函数y1在X=25时取得最大值，可知y也在x=25时取得最大值，此时房价定位应是160—25=135（元），相应的住房率为67.5%,最大住房总收入为13668.75（元）.所以该客房定价应为135元.（当然为了便于管理，定价 140元也是比较合理的）三、总结提升派学习小结.函数最大（小）值定义；^.求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象