高中数学新课标人教A版选修2-3学案1.3第4课时二项式定理的应用

1.3二项式定理第四课时二项式定理一、课前准备1．课时目标(1)能利用二项式处理整除问题；(2)能求二项式展开式系数的最大值；(3)能构造求解一些复杂的二项展开式的系数和差问题.2．基础预探1.当的为偶数时，中间的一项二项式系数取得最大值；当为奇数时，中间的两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值.2.各二项式系数和：，，二、学习引领1.整除问题解决整除问题可以借助于二项式定理来解决：把一个数的指数幂的底数分解为两个数的和或差，利用二项式定理展开，对展开项的数字特征进行分析.如要证明能被64整除，可以将9分解成8+1，从而与64建立联系.2.求二项式展开式系数最大值求展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为，设第ｒ＋1项系数最大，应有，从而解出ｒ的值即可.三、典例导析题型一整除问题例1用二项式定理证明：当时，能被64整除.思路导析：首先将化为，然后将9拆为8+1，此时便可用二项式展开后分析与64的关系.证明：（）.而所以能被64整除.方法规律：整除问题一般通过分解底数然后利用二项式定理展开分析展开式与被整除数的关系.变式训练：若能被整除，则的值可能为（）A．B．C．D．题型二二项式系数的最大值例2若展开式中前三项系数成等差数列，求：（1）展开式中所有的有理项.（2）展开式中系数最大的项思路导析：根据前三项的系数关系，建立关于n的方程即可求得n的值；利用二项式展开式便可求得有理项；设第r项为最大项，通过建立不等式组即可求得r的值确定最大项.解：由已知条件知：，解得：；（1），令，则只有当时，对应的项才为含的有理项，有理项分别为：；（2）记第项系数为，设第项系数最大，则有：，又，所以，即，解得，所以系数最大项为第三项和第四项方法规律：求最大项有两种方法：一种是直接分析法，首先利用二项式系数在中间两项或者一项取得最大值，再结合式子中项的取值正负分析；第二种是直接建立类似题中的不等式组确定此项.变式训练：在的展开式中,求系数最大的项.题型三赋值法综合应用例3如果,求的值.思路导析：要得到各项系数的绝对值的和，关键是把原来的负项变为正项，而原来的正项保持不变.分析本题特点，只需将x赋值为1即可.解:设展开式的通项为,所以r为偶数时,系数为正,r为负数时,系数为正,故有令展开式中的时即可得到.方法规律:本题与要考虑展开式中各项的系数,还要考虑绝对值的作用,即各项系数的符号问题,考查了特殊化的思想方法.这种方法在解决选择题中也有很重要的应用.变式训练：已知,则的值等于.四、随堂练习1.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2.设二项式展开式第5项是常数项,那么这个展开式中系数最大的项是()A.第9项B.第8项C.第9项和第10项D.第8项和第9项3.化简,得()A.B.C.D.4.已知的展开式中前三项的二项式系数和等于79,则展开式中系数最大的项为________.5.如果的展开式中各项系数的和大于8且小于32,则展开式中系数最大的项应是_______.6.今天是星期一,今天是第一天,那么第天是星期几?五、课后作业1.如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．102.展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是（）ABCD3.对于二项式,有下列4个命题:①展开式中;②展开式中非常数项的系数和为1;③展开式中系数最大的项是第1002项和1013项;④当时,除以2000的余数是1.其中正确命题的序号是_________.4.已知，则＝_____；5.已知展开式中第2项大于它的相邻两项,求x的范围.6.如果，求的展开式中系数最大的项.参考答案1.3二项式定理第四课时二项式定理2．基础预探1.2.2n2n12n1三、典例导析例1变式训练答案：C解析：,当时,能被7整除,故选C.例2变式训练解:设项系数最大,则有:又且所以系数最大的项为:.例3变式训练答案：解析：已知,令，得，令得，所以，则(=－256.四、随堂练习1.答案：C解析：令x=1，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得2n=64，所以n=6.2.答案：A解析:因展开式的第5项为,所以有,解得.所以展开式中系数最大的项是第9项.3.答案：A解析:原式=.4.答案：解析:因为前三项的二项式系数为,解得.所以可得系数最大的项是中间项.5.答案：解析:由题意可得,所以.故系数最大的项是第3项为.6.解:所以第天相当于第1天,故为星期一.五、课后作业1.答案：B解析：由于由题意令，得，故当时，正整数的最小值为5，故选Ｂ2.答案：B解析：因为，即，所以n=4所以展开式中共有5项，系数最大的项为3.答案：①④.解析：令x=1可知，此二项式的所有项系数和为0，令x=0可知，其常数项为1，故非常数项和为1，故②错；本式展开共有2014项，故中间两项1012和1013项的二项式系数最大，但1013为负，不是系数最大项，故