20182019学年高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法第一课时利用数学归纳法证明等式不等式问题讲义含解析苏教版选修2220190416349

2.3数学归纳法第一课时利用数学归纳法证明等式、不等式问题[对应学生用书P48]在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数n有关的问题．数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．数学归纳法的两个步骤之间的联系：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得不出正确的结论，因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了． 用数学归纳法证明恒等式[例1]用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.[思路点拨]等式的左边有2n项，右边共有n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左右两边的首项不同．因此，从n＝k到n＝k＋1时要注意项的合并．[精解详析](1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，那么当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋＋.右边＝＋＋…＋＋＋，左边＝右边，上式表明当n＝k＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切非零自然数均成立．[一点通](1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．(2)证明n＝k＋1时成立，必须用到假设n＝k成立的结论．1．用数列归纳法证明：当n∈N*时，－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)n·n.证明：(1)当n＝1时，左边＝－1，右边＝－1，所以左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N*)时等式成立，即－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＝(－1)k·k.那么当n＝k＋1时，－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＋(－1)k＋1·(2k＋1)＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(－k)＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(2k＋1－k)＝(－1)k＋1(k＋1)这就是说n＝k＋1时等式也成立，由(1)(2)可知，对任何n∈N*等式都成立．2．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，所以左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立．则当n＝k＋1时，左边＝12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2＝(k＋1)[2k＋1－4(k＋1)]＝(k＋1)(－2k－3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]＝右边，所以当n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立． 用数学归纳法证明不等式[例2]求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．[思路点拨]运用数学归纳法证明，证明时仔细观察不等式的结构特征，在第二步证明当n＝k＋1时，如何进行不等式的变换是关键．另外，要注意本题n的初始值为2.[精解详析](1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝>，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋－>＋>＋＝，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立．[一点通]利用数学归纳法证明与n有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中注意：(1)证明不等式的第二步即从n＝k到n＝k＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；(2)与n有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可，还经常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等．3．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．解析：n＝k，左边＝＋＋…，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＋＋－＝＋＋…＋＋.答案：4．求证＋＋＋…＋＞(n≥2且n∈N*)．证明：当n＝2时，左边＝＋＝，右边＝＝0，左边＞右边，此时不等式成立．假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式成立，即＋＋＋…＋＞.当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＝＋＝＋＝＝，即当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任何n≥2且n∈N*，不等式都成立．5．证明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2＝2.显然命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋<2.则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2＋＝<＝＝2这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)(2)，可知不等式对任意正整数n都成立．应用数学归纳法时应注意的问题(1)第一步的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3甚至需要验证n＝10，如证明：对足够大的正整数n，有2n>n3，就需要验证n＝10时不等式成立．(2)n＝k＋1时式子的项数，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错．因此对n＝k与n＝k＋1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．(3)“假设n＝k(k≥1)时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明就不再是数学归纳法了．另外在推导过程中要把步骤写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性．[对应课时跟踪训练(十八)]一、填空题1．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1成立时，左边＝________.解析：因为左边式子中a的最高指数是n＋1，所以当n＝1时，a的最高指数为2，根据左边式子规律可得，当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.答案：1＋a＋a22．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案：1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)23．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取________．解析：左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－代入验证可知n的最小值为8.答案：84．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某学生证明过程如下：(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即<k＋1(k∈N*)，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，命题成立．上述证法的错误在于_______________________________________________________．答案：没有用归纳假设5．用数学归纳法证明：“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”．从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为________．解析：当n＝k时左端的第一项为(k＋1)，最后一项为(k＋k)，当n＝k＋1时，左端的第一项为(k＋2)，最后一项为(2k＋2)，所以左边乘以(2k＋1)(2k＋2)，同时还要除以(k＋1)．答案：2(2k＋1)二、解答题6．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋13＋…＋(4n－3)＝2n2－n(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.则当n＝k＋1时，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)＝2k2－k＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1)．所以当n＝k＋1时，命题成立．综上所述，原命题成立．7．用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1.则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)＝2k2＋2k＋1＝2(k＋1)2－2(k＋1)＋1，