2023学年完整公开课版数列求和

§64数列求和基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习项和公式知识梳理项和公式21＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝ 32＋4＋6＋8＋…＋2n＝ 项和公式nn＋1n2数列求和的常用方法1公式法等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和2分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解3裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项知识拓展4倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广5错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，＝－1nfn类型，可采用两项合并求解例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”思考辨析3求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得 √√×5推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝445 √×

12017·潍坊调研设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于考点自测答案解析设等差数列的公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0.

A2016 B2017C2018 D2019答案解析Sn＝a1＋a2＋…＋an

3数列{an}的通项公式为an＝－1n－1·4n－3，则它的前100项之和S100等于A200B－200C400D－400答案解析S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝____________答案解析2n＋1－2＋n2答案解析1008因为数列an＝ncos呈周期性变化，观察此数列规律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，故a5＋a6＋a7＋a8＝2，∴周期T＝4.∴S2017＝S2016＋a2017＝1008.题型分类深度剖析题型一分组转化法求和解答当n＝1时，a1＝S1＝1；a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.2设bn＝2＋－1nan，求数列{bn}的前2n项和解答由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝

＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.引申探究本例2中，求数列{bn}的前n项和Tn解答由(1)知bn＝2n＋(－1)n·n.当n为偶数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]当n为奇数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]思维升华分组转化法求和的常见类型1若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论跟踪训练1已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋－1n·ln2－ln3＋－1nnln3，求其前n项和Sn解答Sn＝21＋3＋…＋3n－1＋·ln2－ln3＋ln3，所以当n为偶数时，当n为奇数时，题型二错位相减法求和例22016·山东已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋11求数列{bn}的通项公式；解答由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，所以an＝6n＋5.解答又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×，2Tn＝3×两式作差，得－Tn＝3×所以Tn＝3n·2n＋2思维升华错位相减法求和时的注意点1要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；2在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；3在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解跟踪训练2设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝1001求数列{an}，{bn}的通项公式；解答解答由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，①－②可得题型三裂项相消法求和例32015·课标全国ⅠSn为数列{an}>0，＋2an＝4Sn＋31求{an}的通项公式；解答所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1解答由an＝2n＋1可知设数列{bn}的前n项和为Tn，则答案解析则f＝思维升华解答an＝Sn－Sn－1n≥2，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn， ①由题意得Sn－1·Sn≠0，解答四审结构定方案审题路线图系列审题路线图规范解答返回②－①，得∴Tn<4. [12分]返回课时作业√12345678910111213答案解析1234567891011121322016·西安模拟设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2016，且an＋2an＋1＋an＋2＝0n∈N*，则S2016等于A0 B2016C2015 D2014√答案解析∵an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，∴an＋2anq＋anq2＝0，q为等比数列{an}的公比，即q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1.∴an＝(－1)n－1·2016，∴S2016＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2015＋a2016)＝0.123456789101112133等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为A120 B70C75 D100√答案解析123456789101112134在数列{an}中，若an＋1＋－1nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于A76 B78C80 D82√答案解析由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1·an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故选B.12345678910111213√答案解析由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.故选B.123456789101112136设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|等于A153 B210C135 D120√答案解析∴从第4项开始大于0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋a15＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋(2×15－7)＝9＋

＝153.12345678910111213答案解析120123456789101112138在等差数列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是______60由a1＞0，a10·a11＜0可知d＜0，a10＞0，a11＜0，∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60.答案解析12345678910111213答案解析12345678910111213Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an12345678910111213答案解析912345678910111213又∵{an}为正项数列，∴an＋1－an－1＝0，即an＋1－an＝112345678910111213∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列∴an＝n，∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为91234567891011121311已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列1求数列{an}的通项公式；解答∵{an－1}是等比数列且a1－1＝2，∴an－1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋1.123456789101112132若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn解