2023学年完整公开课版幂函数（高一）

第3章函数的概念与性质33幂函数初中我们研究过三类函数：一次函数、二次函数和反比例函数。前面我们用”集合对应说“给函数更精细化的定义，然后利用函数概念和对图像的观察，研究了函数的单调性、最值和奇偶性本节利用这些知识研究一类新的函数【探究】1如果卢老师以1元/g的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付的钱数P=t元，这里P是t的函数；2如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；3如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；4如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长c=，这里c是S的函数；5如果某人t秒内汽车前进了1m，那么他的平均速度v=m/s，这里v是t的函数；【以下各个函数有什么共同的特征？】

【思考】如果将上述函数解析式左侧的因变量改成y，右侧自变量改成，请仔细观察得到的函数解析式，它们具有什么共同的结构特征？新得到的函数解析式分别是：新得到的函数解析式分别是：1单项式；2幂的形式且系数为1；；4幂的指数是常数共同的结构特征：可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数分别是1，2，3，05，-1；它们都是形如的函数一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数

【幂函数的概念】幂函数的特征【1】的系数为1

【2】的底数为自变量

【3】的指数为常数

只有同时满足这三个条件的，才是幂函数形如等的函数不是幂函数

判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为为常数的形式反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效

一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数

【1】在函数①②③④⑤⑥中，是幂函数的是（）【解】根据幂函数的定义，只有①⑤⑥是幂函数选项②系数不为1；选项③系数不为1且多了常数项选项④同理

①⑤⑥【2】已知幂函数的图像经过点，求这个函数的表达式

【解】由题意设函数的表达式为

把点代入，得：

即，所以

所以这个函数的表达式为

和初中解决一次函数一样，利用待定系数法因为幂函数只有一个系数，所以只需要一个点的坐标就可以求写出幂函数的表达式【巩固练习】【探究】根据学习函数的经验，你认为应该如何研究幂函数的性质？答：通常先根据解析式求出定义域，研究函数的部分性质，画出函数图象，再利用图象和解析式，讨论函数的其他性质幂函数的图像与性质【说明】对于幂函数，我们只研究时图像的性质问题分别画出上述函数的图象问题分别画出上述函数的图象①定义域：R②值域：R；没有最值；③单调性：在R上是增函数；④奇偶性：奇函数①定义域：{|≥0}；②值域：{y|y≥0}；有最小值0，没有最大值；③单调性：在R上是增函数；④奇偶性：非奇非偶函数

奇函数奇函数奇函数偶函数非奇非偶函数增函数增函数增函数

P90表33-1和两种情况下幂函数的图像变化及性质表：

在0，∞上都有定义，定义域与a的取值有关图像过点0，0和点1，1图像过点1，1在0，∞上是增函数在0，∞上是减函数在第一象限，当0＜a＜1时，图像上凸；当a＞1时，图像下凹在第一象限，图像都下凹与a的取值有关幂函数的图像与性质应用探究例幂函数在0，∞上是减函数，求m的值解：令，解得m=4或m=-1.(1)若m=4，则，在(0，+∞)上是增函数，不符合已知.综上所述，m=-1.(2)若m=-1，则，在(0，+∞)上是减函数，符合已知.应用探究例比较下列各组数的大小12解：

(1)由于函数在(0，+∞)上是增函数，又1.3<2，因此，即a<b；(2)由于函数在R上是增函数，又-2.1<-1.9，因此，即a<b；比较大小用作差法由增减性，根据自变量的大小，比较函数值的大小；或者根据函数值的大小，比较自变量的大小【综合运用】12奇函数，图象分布在第一、三象限，关于原点中心对称；幂函数在第一象限图象规律：偶函数，图象分布在第一、二象限，关于y轴对称；没有奇偶性的函数，图象只在第一象限注：幂函数在第四象限不会有图象“双曲线”型“抛物线”型1α<020<α<13α>1【规律小结】α<0，幂函数在第一象限图象单调