复变函数讲义第6章

复变函数讲义第6章第一页，共72页。一、孤立奇点1定义

如果函数在

不解析,但在的某一去心邻域内处处解析,则称为的孤立奇点.例如是函数的孤立奇点.是函数的孤立奇点.注意:奇点并不一定都是孤立的。例如:的孤立奇点.第一页第二页，共72页。2孤立奇点的分类依据在其孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类:可去奇点洛朗级数中不含

的负幂项极点洛朗级数中含有限个

的负幂项

本性奇点洛朗级数中含无穷多个

的负幂项

第二页第三页，共72页。其和函数为在解析的函数.说明:(1)1)可去奇点如果洛朗级数中不含

的负幂项,那末孤立奇点

称为

的可去奇点.定义第三页第四页，共72页。(2)无论在是否有定义,补充定义则函数在解析.若为的可去奇点，则存在性质第四页第五页，共72页。如果补充定义:时,那末在解析.例1函数中不含负幂项,故是的可去奇点.的孤立奇点的类型解：第五页第六页，共72页。2)极点

其中关于的最高幂为即级极点.那末孤立奇点称为函数的定义

如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项,第六页第七页，共72页。说明:的极点,则为函数如果定义式可改写为：性质其中，且第七页第八页，共72页。例2函数是三阶极点,是一阶极点.课堂练习求的奇点,如果是极点,指出它的级数.答案第八页第九页，共72页。解

解析且所以不是二阶极点,而是一阶极点.例3问是的二阶极点吗?注意:不能以函数的表面形式作出结论.第九页第十页，共72页。本性奇点3)定义如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为的本性奇点.的负幂项,例如，含有无穷多个z的负幂项性质：不存在且不为同时不存在.的本性奇点,则为函数若第十页第十一页，共72页。综上所述:孤立奇点可去奇点m阶极点本性奇点洛朗级数特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为第十一页第十二页，共72页。二函数的零点与极点的关系1零点的定义不恒等于零的解析函数如果能表示成其中在解析且m为某一正整数,那末称为的

m阶零点.例6注意:

不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.第十二页第十三页，共72页。2零点的判定零点的充要条件是证(必要性)由定义:设的泰勒展开式为:如果在解析,那末为的阶如果为的阶零点第十三页第十四页，共72页。其中展开式的前m项系数都为零,由泰勒级数的系数公式知:并且充分性证明略.第十四页第十五页，共72页。(1)由于知是的一阶零点.课堂练习是五阶零点,是二阶零点.知是的一阶零点.解

(2)由于答案例4求以下函数的零点及阶数:(1)(2)的零点及阶数.求第十五页第十六页，共72页。3零点与极点的关系定理如果是的m阶极点,那末就是的

m阶零点.反过来也成立.说明此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.第十六页第十七页，共72页。例5求的孤立奇点,并指出奇点的类型.解显然,是的零点，但是故是的1阶零点.

因此,是f(z)的1阶极点.第十七页第十八页，共72页。推论设z0是P(z)的m级零点,也是Q(z)的n级零点,则当n>m时,z0是f(z)的n-m级极点;而当n

m时,z0是f(z)的可去奇点.

例6考虑函数

设

显然,z=0是Q(z)的5阶零点.

因为所以,z=0是P(z)的2级零点.

故z=0是f(z)的3阶极点.不是5阶极点!第十八页第十九页，共72页。例7函数有些什么类型的奇点?如果是极点,指出它的阶数.解

函数除点外,所以这些点都是的一阶零点,故这些点中除1,-1,2外,都是的三阶极点.内解析.在第十九页第二十页，共72页。所以，所以，是的可去奇点.因为第二十页第二十一页，共72页。课堂练习第二十一页第二十二页，共72页。四、小结1、可去奇点的判别方法(1)由定义判断:将f(z)在其孤立奇点

z0的去心邻域内展开成洛朗级数，若洛朗级数中不含z-z0

的负(2)由极限判断：若极限存在且为有限值,则z0是f(z)的可去奇点.幂项，则孤立奇点z0是f(z)的可去奇点.第二十二页第二十三页，共72页。2、极点的判定方法的负幂项.洛朗展开式中含有有限个在点的某去心邻域内其中在的邻域内解析,且(1)由定义判别(2)由定义的等价形式判别(3)利用极限判别(4)利用零点和极点的关系判别第二十三页第二十四页，共72页。定理如果是的m阶极点,那末就是的

m阶零点.反过来也成立.3、本性奇点的判别方法(1)由定义判断:洛朗级数中含无穷多个z-z0

的负幂项.(2)由极限判断：

极限不存在且不为∞.第二十四页第二十五页，共72页。练习题：下列函数有哪些奇点？各属于什么类型？若是极点，指出它的阶数。第二十五页第二十六页，共72页。答案（2）为的可去奇点.第二十六页第二十七页，共72页。第二节留数定理第二十七页第二十八页，共72页。R4.2.1留数定义及留数基本定理设为的一个孤立奇点,则存在R>0,内Laurent在.使得f(z)在内解析.级数为在内取分段光滑正向简单曲线C,

第二十八页第二十九页，共72页。00.曲线C包含z0在其内部.考虑积分根据,积分与曲线C的选取无关

第二十九页第三十页，共72页。即定义设z0是f(z)的孤立奇点,C是在z0的充分小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向简单曲线，积分称为f(z)在z0点的留数(Residue),记做函数f(z)在孤立奇点z0点的留数即是其在以z0为中心的圆环域内Laurent级数-1次幂项的系数.第三十页第三十一页，共72页。留数定理

设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析,C是D内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向简单闭曲线,则根据留数定理,函数在闭曲线f(z)上的积分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算问题.第三十一页第三十二页，共72页。证明分别以为中心,作半径充分小的正向圆周...…C1C2Cn使得它们中的每个都在其余的外部,而都在C的内部.根据,再由留数的定义,即得第三十二页第三十三页，共72页。第三节留数的计算第三十三页第三十四页，共72页。(1)如果为的可去奇点,则如果为的1阶极点,那么法则1成Laurent级数,求(3)如果为的极点,则有如下计算规则(2)如果为的本性奇点,展开则需将)(zf留数的计算方法第三十四页第三十五页，共72页。证明由于z0是f(z)的1阶极点，所以在z0的某个去心邻域内的Laurent级数展开式为故所以第三十五页第三十六页，共72页。例1求和在孤立奇点处的留数.由于

z=0是g(z)的1阶极点，于是易知z=1和z=2都是f(z)的1阶极点，故第三十六页第三十七页，共72页。法则2设及在都解析.如果那么为f(z)的1阶极点,并且证明由条件易知z0是f(z)的1阶极点.于是第三十七页第三十八页，共72页。例2求在孤立奇点处的留数.处解析，且所以是f(z)的1阶极点，并且显然和都在第三十八页第三十九页，共72页。如果为的阶极点,取正整数法则3证明由于z0是f(z)的m阶极点，所以在z0的某个去心邻域内的Laurent级数展开式为那么因此第三十九页第四十页，共72页。对上式求阶导数,得+(含有正幂的项),所以于是第四十页第四十一页，共72页。例3求在z=-1处的留数.解显然z=-1是f(z)的n阶极点，所以第四十一页第四十二页，共72页。如果z0是f(z)的m阶极点，有时在中取n>m来计算更为方便.例4求在z=0处的留数.根据可知,z=0是f(z)的3阶极点,在法则3中取n=5,则如果在法则3中取n=3,那么计算就要麻烦得多.第四十二页第四十三页，共72页。例5计算积分其中C是的正向.的1阶极点，并且都在C的内部.所以根据留数定理和法则2,显然是函数第四十三页第四十四页，共72页。极点z=3在的外部.分别是f(z)的3阶和1阶极点,都在的内部.而例6计算积分其中C是的正向.记显然z=0和z=1第四十四页第四十五页，共72页。于是，根据留数基本定理第四十五页第四十六页，共72页。例7求在z=0处的留数，并求其中C是的正向.解易见z=0是函数f(z)的本性奇点，并且因此于是，根据留数基本定理第四十六页第四十七页，共72页。小结留数定理留数的计算法则第四十七页第四十八页，共72页。KarlWeierstrass(1815.10.31-1897.2.19)德国数学家.曾在波恩大学学习法律,1838年转学数学.后来成为中学教师,不仅教数学、物理,还教写作和体育,在这期间刻苦进行数学研究.1856年到柏林大学任教,1864年成为教授.Weierstrass是将严格的论证引入分析学的一位大师,他发现了处处不可微的连续函数,与其他一些数学家一起共同结束了分析学的混乱局面.第四十八页第四十九页，共72页。

一、形如

的积分

二、形如

的积分三、形如

的积分第三节

留数在定积分计算上的应用四、小结与思考第四十九页第五十页，共72页。一、形如的积分思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条第五十页第五十一页，共72页。形如当历经变程时,的正方向绕行一周.z沿单位圆周第五十一页第五十二页，共72页。f(z)是有理函数.如果在单位圆周内部f(z)的所有孤立奇点.满足的条件.单位圆周上分母不为零,1.被积函数的转化2.积分区域的转化第五十二页第五十三页，共72页。例1计算积分解则第五十三页第五十四页，共72页。记，则第五十四页第五十五页，共72页。若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.一般设分析可先讨论最后令即可.二、形如的积分第五十五页第五十六页，共72页。2.

积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.(此法常称为“围道积分法”)1.

被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).第五十六页第五十七页，共72页。这里可补线(以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周)与一起构成封闭曲线C,R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内.xy.z1.

z2.

zn…-RR第五十七页第五十八页，共72页。根据留数定理得:当充分大时,总可使第五十八页第五十九页，共72页。

R(z)在上半平面内的全体孤立奇点

第五十九页第六十页，共72页。例2计算广义积分解记且和是f(z)在上半平面的孤立奇点,都是f(z)的1阶极点.因此，第六十页第六十一页，共72页。于是，第六十一页第六十二页，共72页。积分存在要求:R(x)是x的有理函数而分母的次数至