高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练三十二等比数列及其前N项和

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练三十二等比数列及其前n项和……30分钟60分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3= ()【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a1>0且q>0,则可解得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.2.已知{an}是等比数列,a1=1,a3=2,则a5【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,因为a1=1,a3=2,所以q2=2.则a5+a3.在等比数列{an}中,an>0,若a1·a5=16,a4=8,则a5= ()【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q>0,因为a1·a5=16,a4=8,所以a12q4=16,a1q解得a1=1,q=2.则a5=1×24=16.4.已知数列{an}为等比数列,且a2a6+2a42=π,则tan(a3aA.3 3 33 D.±【解析】选A.由等比数列{an}的性质可得:a2a6=a3a5=a4所以a2a6+2a42=π=3a3a所以a3a5=π3所以tan(a3a5)=tanπ3=35.(2019·马鞍山模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn=32n1+r,则r的值为 ()A.13 13 C.1【解析】选B.当n≥2时,an=SnSn1=32n1+r32n3r=8·32n3,当n=1时,a1=S1=321+r=3+r,因为数列是等比数列,所以a1满足an=8·32n3,即8·323=3+r=83,即r=16.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= ()2 2【解析】选A.(a1a2a3)×(a7a8a9)=a56=50,a4a5a6=a57.(2019·常德模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到达目的地.”请问第三天走了 ()里 里 里 里【解析】选B.由题意得,每天行走的路程成等比数列{an},且公比为12因为6天后共走了378里,所以S6=a1解得a1=192,所以第三天走了a3=a1×122=192×14二、填空题(每小题5分,共10分)8.已知数列{an}为等比数列,若a1+a3=5,a2+a4=10,则公比q=________.

【解析】设等比数列{an}的公比为q,由a2+a4=10,可得a1q+a3q=10,即q(a1+a3)=10,又a1+a3=5,所以5q=10.解得q=2.答案:29.在等比数列{an}中,a1=1,an>0,其前n项和为Sn,若a2是a3,a4的等差中项,则S6的值为________.

【解析】设公比为q,则可列方程2q=q2+q3,解得q=0或2或1,其中满足条件的公比只有2.则S6=1-答案:63三、解答题10.(15分)(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3anbn+4,4bn+1=3bnan4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{anbn}是等差数列.(2)求{an}和{bn}的通项公式.【解析】(1)由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn又因为a1+b1=1,所以an+bn是首项为1,由题设得4(an+1bn+1)=4(anbn)+8,即an+1bn+1=anbn+2.又因为a1b1=1,所以an-bn是首项为1,(2)由(1)知,an+bn=12n-1,a所以an=12[(an+bn)+(anbn)]=12nbn=12[(an+bn)(anbn)]=12n……20分钟40分1.(5分)已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则log13(a5+a7+a9)A.5 15 C.5 D.【解析】选A.因为log3an+1=log3an+1,所以an+1=3an.所以数列{an}是公比q=3的等比数列,所以a2+a4+a6=a2(1+q2+q4)=9.所以a5+a7+a9=a5(1+q2+q4)=a2q3(1+q2+q4)=35.所以log1332.(5分)在各项均为正数的等比数列{an}中,a6=3,则a4+a8= ()A.有最小值6 B.有最大值6C.有最大值9 D.有最小值3【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q(q>0).因为a6=3,所以a4=a6q2=3q2,a8=a6所以a4+a8=3q2+3q2≥2当且仅当q=1时上式等号成立.3.(5分)设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{53,23,19,37,82}中,则q等于 ()12 B.12 32【解析】选C.{bn}有连续四项在{53,23,19,37,82}中且bn=an+1,an=bn1则{an}有连续四项在{54,24,18,36,81}中因为{an}是等比数列,等比数列中有负数项,所以q<0,且负数项为相隔两项.所以等比数列各项的绝对值递增或递减,按绝对值的顺序排列上述数值{18,24,36,54,81}相邻两项相除-2418=43,36-24=32,-54则可得,24,36,54,81是{an}中连续的四项.q=32或q=23(|q|>1,所以q=324.(5分)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=34,则S4=________【解析】设等比数列的公比为q,由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=34,即q2+q+1解得q=12,所以S4=a1(1-答案:55.(10分)已知数列{an}的首项a1=2,且an+1=12an+12(n∈N*),求数列1an【解析】数列{an}的首项a1=2,且an+1=12an+12(n∈N则(an+11)=12(an整理得an+1-1a所以数列{an1}是以a11=21=1为首项,12为公比的等比数列,所以an1=1·1当n=1时,符合通项.故1an-所以Sn=20+21+22+…+2n1=2n1,所以S10=2101=10241=1023.6.(10分)(2020·玉溪模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和,且满足Sn2an=n4.(1)证明:{Snn+2}为等比数列.(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn,比较Tn与2n+25n的大小.【解析】(1)当n=1时,有S12a1=14,即a12a1=14,所以a1=3,所以S11+2=4;当n≥2时,原式转化为Sn2(SnSn即Sn=2Sn所以Snn+2=2[Sn又因为S11+2=4,所以Snn+2≠0,所以Sn所以数列{Snn+2}是首项为4,公比为2的等比数列.(2)由(1)知,数列{Snn+2}是首