哈密顿原理及其应用

哈密顿原理及其应用

一、有限自由度点系的运动学分析哈密顿原理在分析力学中发挥着非常重要的作用。它借助于变分运算对质点系及体系内质点运动情况给予精确描述。这一原理具有高度概括性。它的优点在于用该原理对质点系的力进行分析时,与所选的广义坐标是什么参数无关。不仅适用于有限自由度的点系,也可用于无限自由度的点系。它在相对论中,场论中被广泛采用。二、定积分s的运用设有一个完整约束的点系,在t1与t2时刻,占有位形空间两个固定位置A(q(1)j)及B(q(2)j),则点系在A、B间的运动总是按着使定积分。S=∫t2t1L(qj,q,j,t)dt具有极值的方向进行。(其中q,j是qj对t的导数)。L(qjq,j,t)是拉格朗日函数。定积分S叫作用量,它具有能量——时间的量纲。在两端固定q(1)j,q(2)j等时变分时,δt=0;点系的真实运动总是按照作用量S变分为O,即:δS=δ∫t2t1L(qj,q,j,t)dt=0(1)三、哈密顿方程积分的条件1.正则参量,在点系中,设pj是广义坐标qj的共轭广义动量,pj与q,j及qj有线性关系pj=∂L∂qj,则pj,qj叫正则参量。它们能直接表达点系动力学的某些特征。2.哈密顿函数对点系力学函数L=L(qj,q,j,t)微分,得:dL=Σj(∂L∂qjdqj+∂L∂q‚jdq‚j)+∂L∂tdt=Σj(p‚jdqj+pjdq‚j)+∂L∂tdt=Σj[p‚jdqj+d(pjq‚j)-q‚jdpj]+∂L∂tdt整理后得:d[Σjpjq‚j-L]=Σj(-p‚jdqj+q‚jdpj)-∂L∂tdt(2)我们定义上式左端的式子为以(qj,pj,t)为参量的函数Η=Η(qj,pj,t)=Σjpjq‚j-L(qj,pj,t)(3)为哈密顿函数。3.哈密顿正则方程对(3)式取微分,dΗ=Σj(∂Η∂qjdqj+∂Η∂pjdpj)+∂Η∂tdt由于此式与(2)式恒等,故对应的量必相等。即得:q‚j=∂Η∂pj,p‚j=-∂Η∂qj(j=1‚2‚⋯‚S)(4)则-∂L∂t=∂Η∂t。我们称(4)式为点系的哈密顿正则方程。4.相关结论(1)哈密顿正则方程中,L—函数的一个循环坐标也是H—函数的一个循环坐标,因此,循环坐标相对应的广义动量守恒。(2)能量守恒。设点系的势能与速度无关时,H函数表示点系的机械能守恒。即Η=Η(qj,pj)=Σpjq‚j-L=Σ∂L∂q‚jq‚j-L=2F(Τ-V)=Τ+V=E(3)哈密顿方程积分应具备的条件设f(qj,pj,t)是以正则参量qj,pj表示的点系的任意函数,则:fˋ=dfdt=Σj(∂f∂qjq‚j+∂f∂pjp‚j)+∂f∂t=Σj(∂f∂qj∂Η∂pj-∂f∂pj∂Η∂qj)+∂f∂t(5)若f(qj,pj,t)是哈密顿方程的积分,则对于所给关系的任何运动,f保持不变,即f(qj,pj,t)=c(c为常数),故函数f(qj,pj,t)成为哈密顿方程的积分应具备的条件是:∂f∂t=[f,Η]+dfdt=0(7),其中[f,Η]=Σj(∂f∂qj∂Η∂pj-∂f∂pj∂Η∂qj)(5)正则变换对于哈密顿正则方程,它的独立变量不仅是坐标,还有动量,故将qj,pj用新变量Qj,Pj代替时有:Qj=Qj(qj,pj,t),Pj=Pj(qj,pj,t)从而使哈密顿函数H(qj,pj,t)的正则方程组q‚j=∂Η∂pj;p‚j=-∂Η∂qj,变成哈密顿函数ˉΗ(Qj,Ρj,t)的正则方程组:Qj‚=∂Η¯∂pj‚Ρj‚=∂Η¯∂Qj。我们将满足正则方程形式不变的变换式叫正则变换。四、哈密顿—哈密顿——雅可比方程及解法1、母函数;在哈密顿原理中,我们令S=∫t1t2L(qj,q,j,t)dt,将它看成积分上限坐标及时间t的函数,则有dsdt=∂S∂t+Σj∂S∂qjqj‚=∂S∂t+Σjpjqj‚=L(9)。按公式Η(qj,pj,t)=Σjpjqj‚-L得到∂S∂t=-Η(10)于是ds=Σjpjdqj-Ηdt(11),这是把S作为积分上限的坐标和时间的函数S=S(qj,t)的全微分形式。我们称S为正则变换母函数。2、哈密顿——雅可比方程根据公式(10),母函数S=S(qj,pj,t)必须满足∂S∂t+Η(qj,pj,t)=0,从而得到:∂S∂t+Η(q1,q2,⋯,∂S∂q1,∂S∂q2,⋯j,t)=0(12)此方程称为哈密顿——雅可比方程。简称H—J方程。3、用H—J方程解决力学问题的步骤:①先写出力学系统的哈密顿函数H(qj,pj,t),②将H中的pj换成∂S∂qj,写出H—J方程,Η(qj,∂s∂qj,t)+∂S∂t=0‚③求解微分方程。4、保守系统的H—J方程对于保守系统,H不显含时间t的情况下,H—J方程化为Η(qj,∂s∂qj)=E,S=S(qj,pj,t)=W(qj,pj)-Et,Ρj=∂S∂qj=∂w∂qj,w(qj)称为哈密顿特性函数。在这种情况下,H—J方程解决力学问题步骤如下:①写出力学系统的哈密顿特性函数。H(qjpj)=E,②将H中的pj换成∂w∂qj,写出Η[qj,∂w∂qj]=E=-∂S∂t,由此得偏微分方程的完全积分W=W(qjpj-1,E)+C,故直接得正则方程积分:-∂W∂qj-1=Ρi-1,∂W∂qj=pj,∂W∂E=t-t。五、哈密顿方程的积分本文通过哈密顿原理,讨论了哈密顿正则方程及结论,给出了哈密顿函