湖北省高考数学压轴卷试卷-文

绝密★启用前2012年湖北省高考压轴卷数学文本试题卷共5页，共22题。满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果复数的实部和虚部互为相反数，则的值等于（）A．0B．12．已知集合，则实数a的取值范围是 A．{1} B．（—，0） C．d（1，+） D．（0，1）3．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是4．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象()A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位5．给出下面的类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：①“若a、bR，则a一b=0a=b”类比推出“a、b∈C，则a一b=0a=b”②“若a、b、c、d∈R，则复数a+bi=c+dia=c,b=d"类比推出“若a、b、c、d∈Q，则“a+b=c+da=c,b=d"③“若a、bR，则a一ba>b"类比推出“a、b∈C，则a一b>0a>b”④“若xR，则|x|<1一1<x<1”类比推出“Z∈C，则|z|<1一1<z<l"其中类比结论正确的个数为 A．1 B．2 C．3 D．46．如图，D,C,B三点在地面同一直线上，DC=a，从C,D两点测得A点的仰角分别是，（<），则点A离地面的高度AB等于7．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为O的等差数列{}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是 A．13,12 B．13,13 C．12,13 D．13,14．8．已知函数零点依次为a，b,c，则 A．b>c>a B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a9．已知S,A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,SA=AB=l，BC=，则球O的表面积等于 A．4 B．3 C．2 D．10．已知双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为,则该双曲线离心率的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置不得分.11.如图是2012年某高校自主招生面试环节中,7位评委对某考生打出的分数茎叶统计图.去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为____，方差为____.12.某单位为了了解用电量y（度）与气温茗（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 由表中数据，得线性回归方程=-2x十口．当气温为一4℃时，预测用电量的度数约为。13.设有算法如图：如果输入A=144,B=39,则输出的结果是.B=0？C=A除以B的余数B=0？C=A除以B的余数A=BB=C输出A输入非零正整数A,B开始结束否是14．设则a=； 。15.如果数列，，，…，，…是首项为1，公比为的等比数列，则等于16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义两点之间的“直角距离”为.已知，点为直线上的动点，则的最小值为.17．定义：为的真子集，，若，则称对加减法封闭。有以下四个命题，请判断真假：①自然数集对加减法封闭；②有理数集对加减法封闭；③若有理数集对加减法封闭，则无理数集也对加减法封闭；④若为的两个真子集，且对加减法封闭，则必存在，使得；四个命题中为“真”的是；（填写序号）三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B＝60°，cos(B＋C)＝－eq\f(11,14)．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a＝5，求△ABC的面积．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD＝eq\r(,2)，CD＝4，AD＝eq\r(,3)．（Ⅰ）若∠ADE＝eq\f(π,6)，求证：CE⊥平面PDE；（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为eq\f(2eq\r(,21),7)时，求三棱锥A-PDE的侧面积．20．（本小题满分13分）某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：分组频数频率（3.9，4.2]30.06（4.2，4.5]60.12（4.5，4.8]25x（4.8，5.1]yz（5.1，5.4]20.04合计n1.00（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．21．（本小题满分14分）设a∈R，函数f(x)＝lnx－ax．（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x1＝eq\r(,e)（e为自然对数的底数）和x2是函数f(x)的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞e．22．（本小题满分14分）已知椭圆Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0）的离心率为eq\f(2,3)，半焦距为c（c＞0），且a－c＝1．经过椭圆的左焦点F，斜率为k1（k1≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）当k1＝1时，求S△AOB的值；（Ⅲ）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k2，求证：eq\f(k1,k2)为定值．数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分50分．1—5：ADDAB6-10:ABADA二、填空题：每小题5分，满分35分．11．85，1.612.6813.314．7，615．3216．317．②④三、解答题：本大题共5小题，共65分．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由cos(B＋C)＝－eq\f(11,14)，得sin(B＋C)＝eq\r(,1－cos2(B＋C))＝eq\r(,1－(－eq\f(11,14))2)＝eq\f(5eq\r(,3),14)，∴cosC＝cos[(B＋C)－B]＝cos(B＋C)cosB＋sin(B＋C)sinB＝－eq\f(11,14)×eq\f(1,2)＋eq\f(5eq\r(,3),14)×eq\f(eq\r(,3),2)＝eq\f(1,7)．…………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得sinC＝eq\r(,1－cos2C)＝eq\r(,1－(eq\f(1,7))2)＝eq\f(4eq\r(,3),7)，sinA＝sin(B＋C)＝eq\f(5eq\r(,3),14)．在△中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(5,eq\f(5eq\r(,3),14))＝eq\f(c,eq\f(4eq\r(,3),7))，∴c＝8，故△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×5×8×eq\f(eq\r(,3),2)＝10eq\r(,3)．…（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt△DAE中，AD＝eq\r(,3)，∠ADE＝eq\f(π,6)，∴AE＝AD·tan∠ADE＝eq\r(,3)·eq\f(eq\r(,3),3)＝1．又AB＝CD＝4，∴BE＝3．在Rt△EBC中，BC＝AD＝eq\r(,3)，∴tan∠CEB＝eq\f(BC,BE)＝eq\f(eq\r(,3),3)，∴∠CEB＝eq\f(π,6)．又∠AED＝eq\f(π,3)，∴∠DEC＝eq\f(π,2)，即CE⊥DE．∵PD⊥底面ABCD，CE底面ABCD，∴PD⊥CE．∴CE⊥平面PDE．……………（6分）（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD平面PDE，∴平面PDE⊥平面ABCD．如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，∴AF就是点A到平面PDE的距离，即AF＝eq\f(2eq\r(,21),7)．在Rt△DAE中，由AD·AE＝AF·DE，得eq\r(,3)AE＝eq\f(2eq\r(,21),7)·eq\r(,3＋AE2)，解得AE＝2．∴S△APD＝eq\f(1,2)PD·AD＝eq\f(1,2)×eq\r(,2)×eq\r(,3)＝eq\f(eq\r(,6),2)，S△ADE＝eq\f(1,2)AD·AE＝eq\f(1,2)×eq\r(,3)×2＝eq\r(,3)，∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，∵PA平面PAD，∴BA⊥PA．在Rt△PAE中，AE＝2，PA＝eq\r(,PD2＋AD2)＝eq\r(,2＋3)＝eq\r(,5)，∴S△APE＝eq\f(1,2)PA·AE＝eq\f(1,2)×eq\r(,5)×2＝eq\r(,5)．∴三棱锥A-PDE的侧面积S侧＝eq\f(eq\r(,6),2)＋eq\r(,3)＋eq\r(,5)．…………（12分）20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由频率分布表可知，样本容量为n，由eq\f(2,n)＝0.04，得n＝50．∴x＝eq\f(25,50)＝0.5，y＝50－3－6－25－2＝14，z＝eq\f(y,n)＝eq\f(14,50)＝0.28．……………（6分）（Ⅱ）记样本中视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c，在（5.1，5.4]的2人为d，e．由题意，从5人中随机抽取两人，所有可能的结果有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共10种．设事件A表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的可能的结果有：{a，b}，{a，c}，{b，c}，{d，e}，共4种．∴P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)．故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为eq\f(2,5)．…………（13分）21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为（0，＋∞）．求导数，得f′(x)＝eq\f(1,x)－a＝eq\f(1－ax,x)．=1\*GB3①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)是（0，＋∞）上的增函数，无极值；=2\*GB3②若a＞0，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,a)．当x∈（0，eq\f(1,a)）时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈（eq\f(1,a)，＋∞）时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．∴当x＝eq\f(1,a)时，f(x)有极大值，极大值为f(eq\f(1,a))＝lneq\f(1,a)－1＝－lna－1．综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为（0，＋∞），无极值；当a＞0时，f(x)的递增区间为（0，eq\f(1,a)），递减区间为（eq\f(1,a)，＋∞），极大值为－lna－1．…（8分）（Ⅱ）∵x1＝eq\r(,e)是函数f(x)的零点，∴f(eq\r(,e))＝0，即eq\f(1,2)－aeq\r(,e)＝0，解得a＝eq\f(1,2eq\r(,e))＝eq\f(eq\r(,e),2e)．∴f(x)＝lnx－eq\f(1,2eq\r(,e))x．∵f(e)＝eq\f(3,2)－eq\f(e,2)＞0，f(e)＝eq\f(5,2)－eq\f(e2,2)＜0，∴f(e)f(e)＜0．由（Ⅰ）知，函数f(x)在（2eq\r(,e)，＋∞）上单调递减，∴函数f(x)在区间（e，e）上有唯一零点，因此x2＞e．………………（14分）22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，,a－c＝1。))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,c＝2。))∴b2＝a2－c2＝5，故椭圆Γ的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1．………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（－2，0），∴直线AB的方程为y＝x＋2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1．))消去y并整理，得14x2＋36x－9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－eq\f(18,7)，x1x2＝－eq\f(9,14)，∴|AB|＝eq\r(,2)|x1－x2|＝eq\r(,2)·eq\r(,(x1＋x2)2－4x1x2)＝eq\f(30,7)．设O点到直线AB的距离为d，则d＝eq\f(|0－0＋2|,eq\r(,2))＝eq\r(,2)．∴S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(30,7)×eq\r(,2)＝eq\f(15eq\r(,2),7)．…………………（8分）（Ⅲ）设C（x3，y3），D（x4，y4），由已知，直线AR的方程为y＝eq\f(y1,x1－1)(x－1)，即x＝eq\f(x1－1,y1)y＋1．由eq\b\lc