20192020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 3.2.2 函数模型的应用实例课后篇巩固提升含解析新人教A版必修1

3.2.2函数模型的应用实例课后篇巩固提升基础巩固1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点解析由题图知甲所用时间短,∴甲先到达终点.答案D2.下列函数中,随着x的增长,函数值增长最快的是()A.y=50 B.y=1000xC.y=0.4×2x-1 D.y=lnx解析画出函数图象(图略),观察可知指数函数模型的函数值增长最快.答案C3.用长度为24m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3m B.4m C.5m D.6m解析设隔墙长为xm,则矩形场地长为=(12-2x)m.所以矩形面积为S=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,即当x=3m时,矩形面积最大.答案A4.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是 ()A.升高7.84% B.降低7.84%C.降低9.5% D.不增不减解析设该商品原价为a,四年后的价格为a(1+0.2)2·(1-0.2)2=0.9216a.∴(1-0.9216)a=0.0784a=7.84%a,即比原来降低7.84%.答案B5.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.0025v2-0.175v+4.27,则车速为km/h时,汽车的耗油量最少.?解析Q=0.0025v2-0.175v+4.27=0.0025(v2-70v)+4.27=0.0025[(v-35)2-352]+4.27=0.0025(v-35)2+1.2075.故v=35km/h时,耗油量最少.答案356.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过小时才能开车(结果精确到1小时,参考数据lg2≈0.30,lg3≈0.48).?解析设经过n小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-25%)n.根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,则有nlg=n(lg3-2lg2)≤lg=lg2-lg3,将已知数据代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,∴n≥,故至少要经过2小时才能开车.答案27.一个水池有2个进水口,1个出水口.2个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出水口的排水速度如图丙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下3个论断:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到6时不进水不出水.其中,一定正确的论断序号是.?解析从0时到3时,2个进水口的进水量为9,故①正确;由排水速度知②正确;4时到6时可以是不进水,不出水,也可以是开1个进水口(速度快的)、1个排水口,故③不正确.答案①②8.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R与管道半径r的四次方成正比.(1)写出函数解析式;(2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量速率为400cm3/s,求该气体通过半径为rcm的管道时,其流量速率R的解析式;(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量速率.解(1)由题意,得R=kr4(k是大于0的常数).(2)由r=3cm,R=400cm3/s,得k·34=400,解得k=,所以函数解析式为R=r4.(3)因为R=r4,所以当r=5cm时,R=×54≈3086(cm3/s),即该气体的流量速率约为3086cm3/s.9.如图所示,已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4m,CD=6m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=xm,PN=ym,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.解(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,则PQ=8-y,EQ=x-4.在△EDF中,,∴.∴y=-x+10,定义域为[4,8].(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x=-(x-10)2+50.又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.所以当MP=8m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48m2.10.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间t(小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=(a为常数),如图所示.(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?解(1)根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y(毫克)是关于时间t(小时)的一个分段函数:当0≤t≤0.1时,函数的图象是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.当t>0.1时,函数解析式为y=,而A(0.1,1)在这段函数图象上,代入得:1=,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t>0.1时,y=.综上,血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式为y=(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y≤0.125=.当t>0.1时,由,得t-0.1≥1,解得t≥1.1.所以至少需要经过1.1小时后病人才能清醒.能力提升1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到()A.300只 B.400只 C.600只 D.700只解析将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.答案A2.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1000+5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有()A.a=45,b=-30 B.a=30,b=-45C.a=-30,b=45 D.a=-45,b=-30解析设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元,则y=xQ-P=x=x2+(a-5)x-1000,其中x∈(0,+∞).由题意知当x=150时,y取最大值,此时Q=40.∴整理得解得答案A3.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是()解析依题意,当0<x≤1时,S△APM=×1×x=x;当1<x≤2时,S△APM=S梯形ABCM-S△ABP-S△PCM=×1-×1×(x-1)-×(2-x)=-x+;当2<x≤时,S△APM=S梯形ABCM-S梯形ABCP=×1-×(1+x-2)×1=x+=-x+.∴y=f(x)=再结合题图知应选A.答案A4.有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4000万吨.(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)?解析设快递行业产生的包装垃圾为y万吨,n表示从2015年开始增加的年份的数量,由题意可得y=400×(1+50%)n=400×n,当y=4000时,有n=10,两边取对数可得n(lg3-lg2)=1,∴n(0.4771-0.3010)=1,0.1761n=1,解得n≈6,∴从2015+6=2021年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4000万吨.答案20215.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4注:地震强度是指地震时释放的能量.地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y=algx+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于.(取lg2≈0.3进行计算)?解析由记录的部分数据可知x=1.6×1019时,y=5.0,x=3.2×1019时,y=5.2.所以②-①,得0.2=alg,0.2=alg2.所以a=.答案6.有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2万元,它们与投入的资金x万元的关系是Q1=x,Q2=.今年有3万元资金投入使用,则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润?解设对甲种商品投资x万元,则对乙种商品投资(3-x)万元,总利润为y万元,则Q1=x,Q2=.所以y=x+(0≤x≤3).令t=(0≤t≤),则x=3-t2,所以y=(3-t2)+t=-t-2+.当t=时,ymax==1.05(万元),这时x==0.75(万元),所以3-x=2.25(万元).由此可知,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总共获得利润为1.05万元.7.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资A类产品的收益与投资额成正比(f1(x)=k1x),投资B类产品的收益与投资额的算术平方根成正比(f2(x)=k2).已知投资16万元时,A,B两类产品的收益分别为2万元和4万元.(1)分别写出A,B两类产品的收益与投资额的函数关系式.(2)该家庭有32万元资金,全部用于理财投资A,B两类产品,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益(f(x)=f1(x)+f2(x)),其最大收益是多少万元?解(1)由题意得,f1(16)=16k1=2,解得k1=,由f2(16)=4k2=4,解得k2=1.∴f1(x)=x,x∈[0,+∞),f2(x)=,x∈[0,+∞).(2)设投资B类产品x万元,则投资A类产品为(32-x)万元,则f(x)=(32-x)+=4-x+.∵f(x)=--4)2+6,∴当x=16时,f(x)max=6.答:投资A,B两类产品各16万元时,能使资金获得最大收益,最大收益为6万元.8.某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)分析(1)先判断两个函数y=kax(k>0,a>1),y=p+q(p>0)在(0,+∞)上的单调性,说明函数模型y=kax(k>0,a>1)适合要求,然后列出方程组,求解析式.(2)利用x=0时,y=×0=,即元旦放入凤眼莲的面积是m2,列出不等式转化求解.解(1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=p+q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函