数字图像处理第3章

◆3.1图像的几何变换

◆3.2图像的离散傅立叶变换

◆3.3图像变换的一般表示形式

◆3.4图像的离散余弦变换

◆3.5图像的离散沃尔什－哈达玛变换

◆3.6K-L变换

第3章图像变换图像和其它信号一样，既能在空间域（简称空域）处理，也能在频率域（简称频域）处理。把图像信息从空域变换到频域，可以更好地分析、加工、处理图像信息。图像信息的频域处理具有如下特点:①能量守恒，但能量重新分配；②有利于提取图像的某些特征；③正交变换具有能量集中作用，可实现图像的高效压缩编码；④频域有快速算法，可大大减少运算量，提高处理效率。本章除介绍图像的几何变换外，主要介绍可分离正交变换，包括离散傅立叶变换、离散余弦变换、离散哈达玛-沃尔什变换等。

概述◘图像的几何变换包括:

图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。◘图像几何变换的实质:改变像素的空间位置或估算新空间位置上的像素值。

3.1图像的几何变换◘图像几何变换的一般表达式

:

其中，为变换后图像像素的笛卡尔坐标，为原始图像中像素的笛卡尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。如果，，则有，即变换后图像仅仅是原图像的简单拷贝。3.1图像的几何变换◘平移变换

:若图像像素点平移到，则变换函数为

，。写成矩阵表达式为：

其中，和分别为和的坐标平移量。

3.1图像的几何变换，图像的平移注意：平移后的景物与原图像相同，但“画布”一定是扩大了。否则就会丢失信息。3.1图像的几何变换◘比例缩放:若图像坐标缩放到（)倍，则变换函数为：

其中,分别为和坐标的缩放因子，其大于1表示放大，小于1表示缩小。

图像的缩小1.图像按比例缩小：最简单的是减小一半，这样只需取原图的偶（奇）数行和偶（奇）数列构成新的图像。2.图像不按比例缩小：这种操作因为在x方向和y方向的缩小比例不同，一定会带来图像的几何畸变。，图像的减半缩小效果，图像的按比例缩小效果，图像的不按比例任意缩小图像的放大1.按比例放大图像如果需要将原图像放大k倍，则将一个像素值添在新图像的k*k的子块中。放大5倍，图像的成倍放大效果图像的放大2.图像的任意不成比例放大：这种操作由于x方向和y方向的放大倍数不同，一定带来图像的几何畸变。放大的方法是：将原图像的一个像素添到新图像的一个k1*k2的子块中去。，图像的不按比例放大，图像的镜像水平镜像垂直镜像，0,0xy，0,0xy，水平镜像的变换结果，图像的垂直镜像3.1图像的几何变换◘旋转变换:

将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转角度，则变换后图像坐标为：图像旋转变换的示例:a原始图像b逆时针旋转30度后的图像，0,0xy，图旋转前的图像

，图旋转15°并进行插值处理的图像

，图像的旋转注意点：图像旋转之后，会出现许多的空白点，对这些空白点必须进行填充处理，否则画面效果不好。称这种操作为插值处理。，最简单的方法是行插值或是列插值方法：1.插值的方法是：空点的像素值等于前一点的像素值。2.同样的操作重复到所有行。，图像的旋转效果，图像旋转中的插值处理效果，如图所示，图像经过了两次45º和135º旋转变换，旋转360º之后，图像(b)的字迹发生了较明显的变化，特别是字体的边缘更为明显。3.1图像的几何变换◘仿射变换:仿射变换的一般表达式为:平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。仿射变换具有如下性质：（1）仿射变换只有6个自由度（对应变换中的6个系数），因此，仿射变换后互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍是三角形。但却不能保证将四边形以上的多边形映射为等边数的多边形。（2）仿射变换的乘积和逆变换仍是仿射变换。（3）仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换。3.1图像的几何变换上式可以表示成如下的线性表达式:设定加权因子和的值，可以得到不同的变换。例如，当选定，，，该情况是图像剪切的一种列剪切。

（a）原始图像（b）仿射变换后图像3.1图像的几何变换◘透视变换:把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视变换，也称为投影映射，其表达式为:透视变换也是一种平面映射，并且可以保证任意方向上的直线经过透视变换后仍然保持是直线。透视变换具有9个自由度（其变换系数为9个），故可以实现平面四边形到四边形的映射。3.1图像的几何变换◘灰度插值:(1)最近邻插值法：也称作零阶插值，也就是令变换后像素的灰度值等于距它最近的输入像素的灰度值。

特点：造成的空间偏移误差为像素单位，计算简单。但当图像中的像素灰度级有细微变化时，该方法会在图像中产生人工的痕迹。(2)双线性插值也称作一阶插值。该方法通常是沿图像矩阵的每一列（行）进行插值，然后对插值后所得到的矩阵再沿着行（列）方向进行线性插值。特点:当对相邻四个像素点采用双线性插值时，所得表面在邻域处是吻合的，但斜率不吻合。并且双线性灰度插值的平滑作用可能使得图像的细节产生退化，这种现象在进行图像放大时尤其明显。

双线性插值法采用在（x,y）周围四个网格点的灰度值进行内插。3.1图像的几何变换◘灰度插值:(3)卷积插值法:当图像放大时，图像像素的灰度值插值可以通过卷积来实现，即将输入图像两行两列中间插零值，然后通过低通模板滤波。

输入图像邻域插零的邻域

一般低通模板有：

柱形棱锥形钟形三次B样条3.1图像的几何变换(a)原始图像

（b）最近邻插值放大图像

（c）双线性插值放大图像

（d）三次B样条插值放大图像插值放大示例：补充代数运算代数运算是指两幅输入图像之间进行点对点的加、减、乘、除运算得到输出图像的过程。如果记输入图像为A(x,y)和B(x,y)，输出图像为C(x,y)，则有如下四种形式：加法运算C(x,y)=A(x,y)+B(x,y)主要应用举例去除“叠加性”随机噪音生成图像叠加效果去除“叠加性”噪音

对于原图象f(x,y),有一个噪音图像集

{gi(x,y)}i=1,2,...M

其中：gi(x,y)=f(x,y)+h(x,y)iM个图像的均值定义为：g(x,y)=1/M(g0(x,y)+g1(x,y)+…+gM(x,y))当：噪音h(x,y)i为互不相关，且均值为0时，上述图象均值将降低噪音的影响。M=1M=2M=4M=16Addition:averagingfornoisereduction生成图象叠加效果：可以得到各种图像合成的效果，也可以用于两张图片的衔接减法运算

C(x,y)=A(x,y)-B(x,y)

主要应用举例消除背景影响差影法(检测同一场景两幅图像之间的变化)消除背景影响：即去除不需要的叠加性图案设：背景图像b(x,y)，前景背景混合图像f(x,y) g(x,y)=f(x,y)–b(x,y)

g(x,y)为去除了背景图像差影法

指把同一景物在不同时间拍摄的图像或同一景物在不同波段的图像相减; 差值图像提供了图像间的差异信息，能用于指导动态监测、运动目标检测和跟踪、图像背景消除及目标识别等。 在银行金库内，摄像头每隔一固定时间拍摄一幅图像，并与上一幅图像做差影，如果图像差别超过了预先设置的阈值，则表明可能有异常情况发生，应自动或以某种方式报警； 用于遥感图像的动态监测，差值图像可以发现森林火灾、洪水泛滥，监测灾情变化等； 也可用于监测河口、海岸的泥沙淤积及监视江河、湖泊、海岸等的污染； 利用差值图像还能鉴别出耕地及不同的作物覆盖情况。(a)差影法可以用于混合图像的分离

-=(b)检测同一场景两幅图像之间的变化设：时刻1的图像为T1(x,y)， 时刻2的图像为T2(x,y)g(x,y)=T2(x,y)-T1(x,y)=-T1(x,y)T2(x,y)g(x,y)乘法运算

C(x,y)=A(x,y)*B(x,y)

主要应用举例图像的局部显示图像的局部显示一般的图像增强处理都是对整幅图像进行操作，而且在确定变换或转移函数时也是基于整个图像的统计量。但在实际应用中，往往需要仅对图像的某一局部区域进行增强，以突出某一具体的目标。要进行局部增强的前提是能够将某一个（或几个）局部区域从整个图像上剥离，然后单独对其进行处理，常用的剥离方法一般是掩膜技术（Mask），这就需要用到乘法运算。

步骤：l）新建一个与原始图像大小相同的图层，图层的类型仍然是一个图像文件，而且一般要求是一个二值图像。2）在新建图层上，由用户在屏幕上人工勾绘出要进行增强处理的局部区域，这个区域可以是点、线、面（闭合区域）或三者的组合。区域的确定也可以由其它二值图像文件导入或由计算机图形文件（矢量）经转换生成。3）在确定局部区域后，将整个图层保存为二值图像。选定区域内的像元值为1（白色），而区域外的像元值为0（黑色）。4）将待处理的原始图像与3）中的二值图像进行乘法操作，即可将原始图像选定区域外像元的灰度值置0，而区域内像素的灰度值保持不变，得到与原始图像分离的局部图像，即掩膜图像。5）对掩膜图像进行增强处理，生成最终的结果图像。

除法运算C(x,y)=A(x,y)/B(x,y)主要应用举例-常用于遥感图像处理中遥感图像处理举例 图a、b分别是陆地卫星的TM3、TM4波段，图c是对两个波段进行比值处理（除法运算）的结果。所采用的公式为式中，C为比例因子，用于增加比值图像的对比度。 如图，比值处理前，两个波段的阴影（十字光标附近）都非常严重，阴、阳坡无法区分，当然更无法识别不同的地物类型。比值处理后，图像的阴影部分基本消失，可以很明显的区分不同坡向上的地物类型。 1）应用除法运算扩大不同地物的光谱（灰度值）差异，有些地物在单波段图像中的差异较小，通过选择适当的波段进行比值处理，可以有效的扩大不同地物之间的差异，解决图像中存在的“同谱异物”问题。 2）消除阴影的影响。阴影对卫星图像的地物识别和信息提取具有很大影响，除云雾外，阴影主要来自地形的影响。阴影的存在往往会将阴坡与阳坡的同一类地物误判为两类地物，即“同物异谱”现象。除法运算可以消除地形的影响，使处在不同坡向的同一地物的灰度值趋向一致。

原理：有些地物对同一波段的光具有相同或相似的反射率，两者间的差异较小，但其对不同波段光之间的反射率差异却很大。如表：可以看出水和沙滩这两类地物在TM4和TM7两个波段的灰度值差距都较小，但两类地物对TM4和TM7这两个波段的光的反射率差距却很大，经过除法运算就可以将这一差距反映出来。3.2图像的离散傅立叶变换◘一维离散傅立叶变换（1D-DFT）:1D-DFT的定义

：对于有限长序列，其DFT定义为：，1D-DFT的矩阵表示

：3.2图像的离散傅立叶变换其中：，，其中的称为变换矩阵。从的构成形式可知，是对称的，即又由，则称为酉矩阵，且，而1D-DFT就称为正交变换。同理可得到反变换的矩阵表示：3.2图像的离散傅立叶变换◘二维离散傅立叶变换（2D-DFT）1、2D-DFT的定义:

其中，都是整数，

它们的取值范围:

2、几个相关参数:傅立叶变换表示为复数形式:上式也可表示成指数形式：通常称为的频谱或幅度谱，为相位。，频谱的平方称为功率谱，即:3.2图像的离散傅立叶变换3、2D-DFT的性质

:（1）变换核的可分离性：

在离散傅立叶变换中，称为变换核，将代入2D-DFT定义式的正变换中，得

该性质说明2D-DFT可通过两次1D-DFT完成，即按如下两种方法来实现2D-DFT：或3.2图像的离散傅立叶变换（2）移位特性：若，则：a.空间移位:b.频域移位:c.移位时幅度不变:

，d.频谱中心化:令，则即使的频谱从原点移到中心。

（a）原图像（b）|F(u,v)|的示意图（c）|F(u-N/2,v-N/2)|的示意图3.2图像的离散傅立叶变换（3）周期性和共轭对称性：a.周期性:

其中和为整数。b.共轭对称性:图像为实函数，则具有共轭对称性，即:（4）旋转不变性:若用极坐标,则以及其傅立叶变换就可以转化为和，这样，则

3.2图像的离散傅立叶变换

从上式可见，空域中函数旋转角度，它的傅立叶变换也旋转同样大小的角度，反之亦然。（a）原始图像（b）频谱（c）图像旋转45（d）图c的频谱（5）实偶函数的DFT:

()，仅有余弦项的实部。3.2图像的离散傅立叶变换

（6）实奇函数的DFT:

()

，仅有正弦项的虚部。（7）线性性:若和是常数，傅立叶的正反变换都是线性变换，即（8）比例性（尺度变换）:若和是标量，，则

3.2图像的离散傅立叶变换（9）平均值:数字图像的平均值可以定义为:将代入公式，有:故。

（10）卷积定理:

3.2图像的离散傅立叶变换其中：

3.2图像的离散傅立叶变换

（11）相关定理：其中：2D-DFT的计算

根据傅立叶变换核的可分离性，2D-DFT可用两步1D-DFT来实现，而1D-DFT有快速算法FFT，这也就说明2D-DFT就可用FFT来完成，即3.3图像变换的一般表示形式

前面介绍的2D-DFT只是可用于图像变换的一种可分离的、正交变