数学分析总结材料

数学分析总结

微积分微分学极限连续导数（微分）积分学不定积分定积分广义积分级数常数项级数函数项级数幂级数（泰勒）三角级数（傅立叶）一、维度观：函数一元函数的定义域对应实数轴上的点集，简称点集。二元函数的定义域对应平面上的点集，简称平面点集。开区间VS开区域闭区间VS闭区域[a,b]的特征：有界闭集连通一元：单调有界原理——确界定理——闭区间套定理——聚点定理——致密性定理——柯西点列必收敛定理——有限覆盖定理二元：平面上的点不能比较大小，因此少了单调有界原理和确界定理实数的完备性（或实数的连续性）极限一元：两种方式趋向二元重极限：x,y同时以任意方式趋向累次极限：x与y有先有后地趋向与重极限存在累次极限存在累次极限存在重极限存在定义或者（当时）.2412-1在函数在的极限与处是否有定义没有关系注意邻域内有定义，如果当以任意方向趋向时，即当在点设函数的某个去心时，函数时的极限，记为无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数当时，函数在点必须满足三个条件：函数在点处有定义存在如果函数在点不连续，则称函数在点间断，称为函数的间断点或不连续点.定义间断点的类型：第一类间断点函数在点处左右极限都存在的间断点第一类间断点左右极限存在且相等

可去间断点左右极限存在不相等跳跃间断点定义第二类间断点函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个是不存在的间断点，则称x0为第二类间断点。连续一元二元闭区间上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质定义定义一元二元导数与微分导数定义微分定义导数的困难全微分偏导数：固定一变量，化为一元函数之导数（即沿x轴或y轴的方向）方向导数：沿射线方向的单侧导数（分母取正值）。。。极限存在、连续与可导（可微）的联系和区别一元：极限连续可导可微二元：极限连续可微一元函数的导数与微分是同一问题的两个角度，导数侧重于变化率（几何上即切线之斜率），微分侧重于近似计算。复合函数求导一元：二元：二元：我们可把看作相对于的变化率，看作相当于的变化率，看作相当于的变化率.如果变化得比快2倍，变化得比快3倍，那么变化得比快6倍是合乎情理的.因此我们有.

若隐函数求导一元：求导或偏导后解线性方程二元：求偏导后解线性方程（组）一阶微分形式不变性一元二元中值定理：

一元：二元：拉氏中值定理——拉氏余项的泰勒公式参数化：柯西中值定理高阶推广：拉氏余项的泰勒公式退化：罗尔定理拉氏中值定理近似计算一元二元（一阶）微分近似计算公式（高阶）泰勒公式定量：拉氏余项，柯西型余项定性：佩亚诺余项极值一元二元判别法一判别法二定理6.10(极值的第一充分条件)设函数f(x)在定理6.11(极值的第二充分条件)设f(x)在点x0定理6.12(极值的第三充分条件)设f在点x0的某邻域内存在直到(ii)n为奇数时,

不是极值点.极值的第二充分条件之阶的推广问题：如何判定一个驻点是否为极值点？单调性凹凸性一元：曲线二元：凹凸面（变量的）微分，就是该变量的微小线性变化部分，技巧是局部切或小切，即局部地遇线切线，见面切面也一元（线微元）（本已线性，因此其中为单位切向量二元（面微元）其中为单位法向量平面面积微元①．设曲面的方程为：如图，3。曲面的面积曲面S的面积元素②．设曲面的方程为：曲面面积公式为：③．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得三元（体微元）。。。。。积分学：一、几何角度4-D体积点线（长度）面（面积）体（体积）直线段长度:曲线段平面曲线段长度空间曲线段长度。。。。。平面块（平面区域）的面积曲面块3-D曲面块面积4-D曲面快面积。。。。。直线段长度:平面上曲线段长度空间曲线段长度平面块（平面区域）的面积4-D曲面块面积？3-D曲面块面积空间几何体的体积点——线——面——体各积分公式的关系一重定积分：N-L公式二重积分：Green公式三重积分：Gauss公式四重积分：。。。维度曲线：一维直线，平面封闭曲线（Green公式），3-D封闭曲线（Stokes公式）。。。维度曲面：二维平面，3-D封闭曲面（Gauss公式），4-D封闭曲面。。。物理角度：质量直线段：定积分曲线段（平面，空间）：第一型曲线积分平面块：二重积分曲面块：第一型曲面积分3-D几何体：三重积分做功：第二型曲线积分流量：第二型曲面积分微元法：1.（平行截线为已知的平面区域面积）2.平行截面为已知的立体体积总式：应用1.旋转体体积2.计算重积分（投影降重）：X-型区域（投影到X轴上）Y-型区域（投影到Y轴上）二重积分三重积分先投影到平面上先投影到坐标轴上1.平面（空间）曲线的切线与法线去掉可微的误差项曲面的切平面与法线：去掉可微的误差项2.平面（空间）曲线之弧长，平面图形（空间曲面）之面积，空间几何体之体积3.平面（空间）曲线，曲面之曲率几何应用：做功，水压力，引力，矩：质量，重心（质心），转动惯量等物理应用：级数数列与级数：数列数列函数列：也是数列，是带函数形式的数列数项级数：正向级数收敛判别法①幂级数：用正项级数收敛判别法求收敛区间②傅里叶级数（处理周期函数）函数项级数：(常数项数列)函数点点有界与一致有界函数点点连续与一致连续函数列点点收敛与一致收敛点点与一致（即局部与整体）：例1

例2

但在[a，1）才一致有界点点有界,但在[a，1）才一致连续例3

但在[a，1）才一致收敛证首先我们根据一致连续的定义来叙述f(x)在区例9

但仍有确实不是一致连续的.总有间I上不一致连续的定义：试问,函数在区间I上一致连续与在区间I上连续的区别究竟在哪里？仅与有关.对于任意正数

,所得答:(1)首先,对于如果在区间I上连续，那么,

不仅与

有关,而且还与所讨论的点而在区间I上一致连续.那么显然关.过程中有一个正下界(当然(2)函数f(x)在每一点连续,区间I上就一致连续了.这个下界只与

有关,而与x0无关),则此时f(x)在从几何意义上看,就是存在某个预先给定的(<1),无论N多么大,总存在某条曲线只限于在区间上,则容易看到,只要不能全部落在由夹成的带状区域内(图13-2).若函数列曲线

就全部落在所夹成的带状区域内，所以

上是一致收敛的.

处处连续处处不可导函数：P可微VS方向导数VS偏导数多元函数极值一、多元函数的极值和最值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.二、条件极值与拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值．一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解——降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法——升元法求z=f(x,y)其几何意义是其中点(x,y)在曲线L上xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点.P条件极值点.1.已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为求线状物体的质量

m.由物理学知道，如果一个物体在常力F作用下，使得物体沿力的方向作直线运动，