高考立体几何与解析几何复习的几个思考

立体几何与解析几何复习的几点思考

二.近年新课程卷几何试题特点四、复习中的几点思考三、考纲解读及题型举例一.全国新课标高考实施进程一.全国新课标高考实施进程2003年国家教育部制订《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）。2004年部分省份首先进入新课改试点。2007年新课程高考开始在山东、广东、海南、宁夏四省试行。2008年加入江苏。2009年天津、浙江、辽宁、福建、安徽。2010年北京、湖南、黑龙江、吉林、陕西。2011年江西、河南、山西、新疆。2012年湖北、河北、内蒙古、云南。2013全国内地(除广西外)所有省份将全面进入新课程高考。1.立体几何试题分布及试题特点二、近三年新课程卷几何试题特点年份文理科试题分布总分值2012年理科7,11,19题22分文科7,8,19题22分2013年理科6,8,18题22分文科11,15,19题22分2014年理科12，19题17分文科8，19题17分立体几何在高考试卷中基本上稳定在两道试题，一小一大，共计17分.小题主要以三视图为载体，考查学生的空间想象能力，考查学生对常见几何体及其组合体的面积与体积的计算，属于容易题.大题主要考查的是空间的平行、垂直的判定与性质，空间角与空间距离，往往借助空间向量进行处理，难度中等.2.解析几何试题分布及试题特点年份文理科试题分布总分值2012年理科4,8,20题22分文科4,10,20题22分2013年理科4,10,20题22分文科4,8,21题22分2014年理科4,10,20题22分文科4,10,20题22分解析几何在高考试卷中有两至三道试题，小题两道，大题一道，总分22分.小题主要考查直线、圆的方程，直线与圆的位置关系，圆锥曲线的标准方程及简单几何性质，属于容易题.大题主要通过直线与圆、直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的数学思想.常涉及到轨迹与方程问题、范围与最值问题、定值与定位问题、探索性问题等，难度较大.三、考纲解读及题型举例1．空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．（3）会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．题型1：三视图

新教材中对立体几何的定位是培养学生的空间想象力，训练学生的空间感.三视图是培养这一数学能力的很好素材，所以三视图的内容几乎年年都在考查．考试内容主要围绕着简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合），从实物图到三视图，或由三视图到实物图，定性或定量地研究图形的形状、几何体的表面积、体积等问题．尤其值得注意的是对于从正方体、正四面体、球体等常见几何体中挖切出来的几何体，要能将其还原至这些典型的几何体中，要主动掌握“能割善补”的几何方法，体会局部与整体的几何关系.规律总结

2．点、直线、平面之间的位置关系（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．◆定理：空间中如果一个角的两条边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．题型2：点线面的基本关系新教材改变了传统立体几何的“公理化方法”，删除了对大部分定理的证明.以长方体为载体，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解线、面关系的有关定理.以生活中的具体物体为载体，理解空间中点、线、面的位置关系,了解四个公理及其推论;空间两条直线的三种位置关系及其判定;异面直线的定义.此类问题在高考中主要以选择题或填空题的形式呈现,也可以结合四种命题或充要条件来进行考查.规律总结

（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．理解以下判定定理：◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明：◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．◆如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．25试题来源：直接来自教材《选修2-1》题型3：空间中的平行关系与垂直关系题型3：空间中的平行关系与垂直关系此类问题在近年高考试卷中主要出现在立体几何解答题的第(1)小问中.有关平行与垂直的证明问题,若利用几何法证明，则线面平行、面面平行的证明问题,其中线面平行的证明问题是关键；线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明问题,其中线线垂直与线面垂直问题是关键.若利用空间向量证明，则直线的方向向量、平面的法向量的确定是关键.规律总结3.空间向量与立体几何（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.（4）理解直线的方向向量及平面的法向量.（5）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.（6）能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理（包括三垂线定理）.（7）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.题型4：球的切接问题1.正方体和球2.长方体和球3.正四面体和球

（2012辽宁理16）已知正三棱锥

P-ABC，点P，A，B，C都在半径为

的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________.

（2012全国文8）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为

，则此球的体积为

题型5：利用空间向量计算角和距离问题空间中的角主要包括线线角、线面角、面面角，利用向量来处理关键在于求直线的方向向量与平面的法向量.空间中的距离主要包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离和面面距离,其中点点距离、点线距离和点面距离是重点,其余几类均可以转化为以上三种.规律总结

一道趣题：一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1、h2、h3，则h1︰h2︰h3=

设棱长为a，则正四

棱锥高，

正三棱锥的高及三棱

柱的高

故h1︰h2︰h3

=1．直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．（4）掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式和一般式），了解斜截式与一次函数的关系．（5）能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．题型1：直线的方程与直线间的位置关系直线的方程、两直线的位置关系、距离问题一直是高考考查的热点问题.单纯考查直线的知识一般在选择题、填空题中出现；直线和其他知识的交汇问题一般出现在解答题中，有一定的难度．规律总结2．圆与方程（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想．3．空间直角坐标系（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．（2）会推导空间两点间的距离公式．题型2：直线与圆的位置关系在选择题、填空题中考查圆方程的求解，直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，特别是含参数的位置关系问题仍将是考查的重点和热点．而在解答题中，则有可能考查以圆为背景的综合试题，特别是圆与圆锥曲线的整合问题．规律总结3.圆锥曲线（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.（4）了解曲线与方程的对应关系.（5）理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系.（6）理解数形结合的思想.（7）了解圆锥曲线的简单应用.题型3：圆锥曲线的标准方程及简单几何性质OxyABF1F2在选择题、填空题中考查圆锥曲线的定义及标准方程，圆锥曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．对数形结合，转化与化归及方程思想的要求比较高.规律总结另解：数形结合解：分别画出y=log2(-x)和y=x+1的图像题型4：直线与圆锥曲线的位置关系（轨迹方程问题）

求曲线的轨迹方程体现了数形结合的数学思想，是解析几何的核心，也是近几年来高考的热点.常涉及的方法有：1.坐标法；2.定义法；3.代入法；4.几何法；5.参数法；6.交轨法.

规律总结题型5：直线与圆锥曲线的位置关系（范围与最值问题）例4设M是抛物线y=x2上的一点，若点M到直线l:4x-3y-8=0的距离d最小，求点M的坐标及距离d的最小值.方法一设点M（m,m2）,直线方程为4x-3y+b=0,则整理得3x2-4x-b=0,由题意可知Δ=42+12b=0,方法三如图所示,若想使抛物线上的点到直线l的距离最小，只需抛物线在点M处的切线与直线l平行即可,因为直线l的斜率为,抛物线的导数为y′=2x,方法二设过点M平行于直线l与抛物线相切的【探究拓展】在解答此类问题时，利用待定系数法设出抛物线上动点的坐标，利用二次函数求最值，是解决距离问题的重要方法；而利用直线平行求距离也是常规方法;利用导数求切线的斜率也是十分简单易行的好方法，这些方法是几种不同数学思想的应用,注意体会.练习解析:

由图形知,当直线与椭圆有最大截相切时,距与截距。规律总结对于求曲线方程中参数的取值范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求出参数的取值范围，或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域问题求解.题型6：直线与圆锥曲线的位置关系（定值定位问题）

定值、定点问题是指曲线变化或参数值变化时，某一个量不变或某一个点不变，解决的方法都是用参数把有关量表示出来，进行化简变形得出要求的定值．这类问题考查的是代数运算能力．规律总结

对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题,设该直线（曲线）上两点的坐标,利用坐标在直线（或曲线）上,建立点的坐标满足的方程（组）,求出相应的直线（或曲线）,然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.