求极限的若干方法-毕业论文

江西师范大学2013届学士学位毕业论文PAGE江西师范大学08届学士学位毕业论文江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文求函数极限的若干方法TheMethodsofFunctionalLimit姓名：***学号：090*0*0**3学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：**(讲师）完成时间：2013年4月19日PAGEPAGE1求函数极限的若干方法***【摘要】在数学分析中，极限思想贯穿于始末，求极限的方法也显得至关重要。极限包括数列的极限与函数的极限，两类极限的本质上是相同的，其中数列极限是函数极限的特例，因此本文只就函数极限进行讨。结合例题，本文阐述了求函数极限的十三种方法，包括利用无穷小量、洛必达法则、泰勒公式、中值定理等求极限。【关键词】函数极限洛必达法则泰勒公式中值定理1引言数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。众所周知常见的求极限的方法包含四则运算，夹逼准则、无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用。对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，本文给出了十三种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法，下面就根据函数的特点分类进行讨论。2函数极限的定义及作用定义1：设函数在点的某空心邻域内有定义,为定数.若对任给的,存在正数（﹤），使得当时有，则称函数当时以为极限,记作或.定义2：设为定义在上的函数,为定数.若对任给的，存在正数,使得当时有，则称函数当趋于时以为极限,记作或.对于其他形式函数极限的定义我就用-语言描述定义：=A:当-<x-<0时，|f（x）A|<=A:当0<x-<时，|f（x）-A|<当|x|>M时，|f（x）-A|<当x<-M时，|f（x）-A|<在数学分析中我们经常用函数极限的定义来证明极限存在问题。例1用极限定义证明：=1证由==取=则当0<|x-2|<时，就有<由函数极限-定义有：=13函数极限的计算及多种求法极限一直是数学分析中一个重要的内容，并且函数极限运算是数学分析的一个重要的基本运算。极限的求法也是多种多样的，本文通过归纳，总结出一些极限的计算方法.3.1利用左、右极限求极限定理1：函数极限f（）存在且等于A的充分必要条件是左极限f()及右极限f（）都存在且都等于A。即有：=Af（）=f（）=A。此类方法多用于求分段函数极限问题。例2求在的极限解3.2利用极限运算法则求极限这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算，为此有时往往要对函数作一些变形。定理2:若f(x)=Ag（x）=B（1）[f(x)±g(x)]=f(x)±g(x)=A+B(2)[f(x)·g(x)]=f(x)·g(x)=A·B(3)若B≠0则：==(4)C·f(x)=C·f(x)=CA（C为常数）上述性质对于→，→+，→-时也同样成立例例3求解==3.3利用初等变形求函数极限在求函数极限时，利用简单的初等变形可使极限易于计算，初等变形的方法有约分法、有理化、比较最高次幂法等。3.3.1约分法适用于计算型函数极限，如果所求函数的分子分母都是整式且有公因子（特别是零因子）时，可通过约简式计算极限值。例4计算的值（为正整数）。解原式===注意要首先将分子分母因式分解，找到公因子（特别是零因子），接着即可约去公因子，再求函数极限。3.3.2有理化法在求解存在根号的函数极限时，通过选择分子或分母，或分子分母同时有理化约去零因子，即可转化为一般的极限问题。例5（其中）解原式====注意此题是通过分子有理化来简化运算，在具体解题时根据简便原则进行选择何种方式的有理化。3.3.3比较最高次幂法此方法是指除以分子分母的最高次幂来计算函数极限。例6设，，，,求。解因为则=3.4利用迫敛性求函数极限定理3（迫敛性）：设,且在某内有,则。做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。例7求的极限解.且由迫敛性知=13.5利用两个重要极限公式求函数极限两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例8求.解==.例9求.解注意以后还会用到的另一种极限形式：事实上，令，则，所以例10求极限解.3.6利用变量替换求函数极限为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的替换。当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求3.6.1利用等价无穷小量替换来求极限定义3：所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量，记作定理4：设函数在内有定义，且有1.若则2.若则由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例11求的极限解由而；；故有注1由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量：，，，，，，，注2在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有，；，而推出的，则得到的结果是错误的。小结在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。3.6.2利用其他替换来求极限利用变量替换进行极限计算，要灵活多变。例12求解令则3.7利用无穷小量的性质求函数极限性质1：无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量性质2：无穷小量与无穷大量的关系：若在自变量的同一变化过程中f(x)为无穷小量，且f(x)≠0,则为无穷大量，反之亦然。例13求解因为例14求解因为-4=0，5x=10，所以我们可以求出==0这就是说，当x→2时，为无穷小量，由于恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量，所以为x→2时的无穷大量，即=注意（1）无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。例如，当x→，是无穷小量，2x个这种无穷小之和的极限显然为2。（2）无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。（3）无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如，当x→时，是无穷大量，是有界量，显然·→1。3.8利用初等函数的连续性质求函数极限这种方法适用于求函数在连续点处的极限，利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果：若f(x)在处连续，则f(x)=f()；若（x）=A，y=f(u)在u=A处连续则f[(x)]=f(A);若f(x)=A>0,g(x)=B,则=例15求（7x-6）解因为y=（7x-6）是初等函数，在定义域（，+）内是连续的，所以在x=1处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值，所以（7x-6）=（7-6）=03.9利用导数的定义求函数极限定义4（导数的定义）：函数在附近有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记为。在这种方法的运用过程中，首先要选好，然后把所求极限表示成在定点的导数例16求解取则3.10利用洛必达法则求函数极限以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛比达法则。利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。3.10.1型不定式极限定理6：若函数和满足：在点的某空心邻域内两者都可导，且（为实数，也可为或）则注意若将定理中换成只要相应地修正条件中的邻域，也可得到同样的结论。例17求解容易检验与在的邻域里满足定理的条故由洛必达法则求得在利用洛必达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换。例18求解这是型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解，但是比较麻烦。如作适当的变换，计算上就会更方便些，故令当时有，于是有3.10.2型不定式极限若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。定理7：若函数和函数满足：在点的某空心邻域内两者都可导，且（为实数，也可为或）则注意：若将定理中换成只要相应地修正条件中的邻域，也可得到同样的结论。例19求解由定理得，3.10.3其它类型不定式极限不定式极限还有，，，，等类型。这些类型经过简单的变换，都可以化为型和型的不定式极限。例20求解这是一个型的不定式极限，作恒等变形=，将它转化为型的不定极限，并用洛必达法则得到例21求解这是一个型的不定式极限，作恒等变形=所以=例22求（为常数）解这是一个型的不定式极限，按上例变形的方法，先求型的极限，然后得到=例23求解这是一个型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限（型）注意运用洛比达法则应注意以下几点1、要注意条件，也即是说，在没有化为时不可求导。2、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。3.11幂指函数求函数极限一般来说，幂指函数是形如的函数。幂指函数求极限在数学分析中比较常见。由于幂指函数兼具幂函数和指数函数的特点，对幂指函数求极限又显得比较困难。下面我介绍两种常用方法。3.11.1,的极限均为有限常数，即型的极限求法命题1：，，且A和B为有限数，A>0,则有例24求极限.解因为，由上述定理得：3.11.2型未定式极限问题命题2:设有连续函数和，在自变量的某个变化过程中，，，则例25求极限解注对于型未定式的极限用可通过将幂指函数化为对数恒等式的形式，转换为型或型不定式，然后再利用洛必达法则进行求解。例26求极限.解令，则当时，，那么3.12利用泰勒公式求函数极限定义5[1]：若函数在存在阶导数,则有=+（-）+(-+……+（-+-(1)这里-为佩亚诺型余项,称(1)为函数在点的泰勒公式.当=0时,（1）式变为=+++……+称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式。常见函数的麦克劳林公式.…为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒公式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简洁地求出函数极限。例27求解本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，因而求得3.13利用中值定理求函数极限定理8(拉格朗日微分中值定理)：若函数满足(1)在上连续,(2)在可导；则在内至少存在一点，使。例28求解由定理9(积分中值定理)：设函数在闭区间上连续,则至少存在使得.例29求.解由积分中值定理，，所以以上方法是在数学分析求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明