广东省广州市2020届高三一模文科数学试题(附答案)

./2020年高考模拟高考数学一模试卷〔文科一、选择题1．已知复数z＝i〔1+i,则|z|＝〔A．B．C．1D．2．已知集合A＝{0,1,2,3},B＝{﹣1,0,1},P＝A∩B,则P的子集共有〔A．2个B．4个C．6个D．8个3．设向量＝〔m,1,＝〔2,﹣1,且⊥,则m＝〔A．﹣2B．﹣C．D．24．已知{an}是等差数列,a3＝5,a2﹣a4+a6＝7,则数列{an}的公差为〔A．﹣2B．﹣1C．1D．25．已知命题p：∀x∈R,x2﹣x+1＜0；命题q：∃x∈R,x2＞x3,则下列命题中为真命题的是〔A．p∧qB．￢p∧qC．p∧￢qD．￢p∧￢q6．已知偶函数f〔x满足f〔x＝x﹣〔x＞0,则{x|f〔x+2＞1}＝〔A．{x|x＜﹣4或x＞0}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜﹣2或x＞2}D．{x|x＜﹣2或x＞4}7．如图,圆O的半径为1,A,B是圆上的定点,OB⊥OA,P是圆上的动点,点P关于直线OB的对称点为P',角x的始边为射线OA,终边为射线OP,将|﹣|表示为x的函数f〔x,则y＝f〔x在[0,π]上的图象大致为〔A．B．C．D．8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具,也称陀罗．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个陀螺的三视图,则该陀螺的表面积为〔A．〔7+2πB．〔10+2πC．〔10+4πD．〔11+4π9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为e,设地球半径为R,该卫星近地点离地面的距离为r,则该卫星远地点离地面的距离为〔A．r+RB．r+RC．r+RD．r+R10．已知函数f〔x＝x﹣alnx﹣1存在极值点,且f〔x≤0恰好有唯一整数解,则实数a的取值围是〔A．〔﹣∞,1B．〔0,1C．〔0,D．〔,+∞11．已知F1,F2是双曲线C：﹣y2＝1〔a＞0的两个焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点,若|AB|＝,则△ABF2的切圆的半径为〔A．B．C．D．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是棱AD,CC1,C1D1的中点,给出下列四个命题：①EF⊥B1C；②直线FG与直线A1D所成角为60°；③过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④三棱锥B﹣EFG的体积为．其中,正确命题的个数为〔A．1B．2C．3D．4二、填空题13．已知函数y＝f〔x的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称,则f〔4＝．14．设x,y满足约束条件,则z＝x﹣2y的最小值为．15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生A1,A2,A3和3名女生B1,B2,B3中各随机选出两名,把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,则A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为．16．记Sn为数列{an}的前n项和,若2Sn﹣an＝,则a3+a4＝,数列{an+2﹣an}的前n项和Tn＝．三、解答题17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况,从生产线上随机抽取了80个零件进行测量,根据所测量的零件尺寸〔单位：mm,得到如图的频率分布直方图：〔1根据频率分布直方图,求这80个零件尺寸的中位数〔结果精确到0.01；〔2已知尺寸在[63.0,64.5上的零件为一等品,否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率,从生产线上随机抽取1个零件,试估计所抽取的零件是二等品的概率．18．已知a,b,c分别是△ABC角A,B,C的对边,sin2A+sin2C﹣sinAsinC＝sin2B．〔1求sinB的值；〔2若b＝2,△ABC的面积为,求△ABC的周长．19．如图,三棱锥P﹣ABC中,PA＝PC,AB＝BC,∠APC＝120°,∠ABC＝90°,AC＝PB＝2．〔1求证：AC⊥PB；〔2求点C到平面PAB的距离．20．已知点P是抛物线C：y＝﹣3的顶点,A,B是C上的两个动点,且•＝﹣4．〔1判断点D〔0,﹣1是否在直线AB上？说明理由；〔2设点M是△PAB的外接圆的圆心,求点M的轨迹方程．21．已知函数f〔x＝alnx﹣,曲线y＝f〔x在点〔1,f〔1处的切线方程为2x﹣y﹣2﹣e＝0．〔1求a,b的值；〔2证明函数f〔x存在唯一的极大值点x0,且f〔x0＜2ln2﹣2．〔二选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为〔t为参数,曲线C2的参数方程为〔θ为参数．〔1求C1与C2的普通方程；〔2若C1与C2相交于A,B两点,且|AB|＝,求sinα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0,b＞0,且a+b＝1．〔1求+的最小值；〔2证明：＜．参考答案一、选择题1．已知复数z＝i〔1+i,则|z|＝〔A．B．C．1D．解：∵z＝i〔1+i＝﹣1+i,∴|z|＝．故选：D．2．已知集合A＝{0,1,2,3},B＝{﹣1,0,1},P＝A∩B,则P的子集共有〔A．2个B．4个C．6个D．8个解：∵集合A＝{0,1,2,3},B＝{﹣1,0,1},∴P＝A∩B＝{0,1},∴P的子集共有22＝4．故选：B．3．设向量＝〔m,1,＝〔2,﹣1,且⊥,则m＝〔A．﹣2B．﹣C．D．2解：∵向量＝〔m,1,＝〔2,﹣1,且,∴＝2m﹣1＝0,解得m＝,∴实数m＝．故选：C．4．已知{an}是等差数列,a3＝5,a2﹣a4+a6＝7,则数列{an}的公差为〔A．﹣2B．﹣1C．1D．2解：∵{an}是等差数列,a3＝5,a2﹣a4+a6＝7,∴,解得a1＝1,d＝2．∴数列{an}的公差为2．故选：D．5．已知命题p：∀x∈R,x2﹣x+1＜0；命题q：∃x∈R,x2＞x3,则下列命题中为真命题的是〔A．p∧qB．￢p∧qC．p∧￢qD．￢p∧￢q解：x2﹣x+1＝〔x﹣2+＞0恒成立,故命题p：∀x∈R,x2﹣x+1＜0为假命题,当x＝﹣1时,x2＞x3,成立,即命题q：∃x∈R,x2＞x3,为真命题,则￢p∧q为真,其余为假命题,故选：B．6．已知偶函数f〔x满足f〔x＝x﹣〔x＞0,则{x|f〔x+2＞1}＝〔A．{x|x＜﹣4或x＞0}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜﹣2或x＞2}D．{x|x＜﹣2或x＞4}[分析]偶函数f〔x满足f〔x＝x﹣〔x＞0,在〔0,+∞递增,根据单调性判断即可．解：偶函数f〔x满足f〔x＝x﹣〔x＞0,在〔0,+∞递增,且f〔2＝1,故f〔x+2＞1,即|x+2|＞2,解得{x|x＞0或者x＜﹣4},故选：A．7．如图,圆O的半径为1,A,B是圆上的定点,OB⊥OA,P是圆上的动点,点P关于直线OB的对称点为P',角x的始边为射线OA,终边为射线OP,将|﹣|表示为x的函数f〔x,则y＝f〔x在[0,π]上的图象大致为〔A．B．C．D．[分析]设PP'的中点为M,则|﹣|＝,当x∈[0,]时,在Rt△OMP中,利用三角函数可知,|PM|＝cosx,所以f〔x＝2cosx,从而得解．解：设PP'的中点为M,则|﹣|＝,当x∈[0,]时,在Rt△OMP中,|OP|＝1,∠OPM＝∠POA＝x,所以cosx＝,所以|PM|＝cosx,|﹣|＝2cosx,即f〔x＝2cosx,x∈[0,]．从四个选项可知,只有选项A正确,故选：A．8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具,也称陀罗．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个陀螺的三视图,则该陀螺的表面积为〔A．〔7+2πB．〔10+2πC．〔10+4πD．〔11+4π[分析]画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱,下部是圆锥,几何体的表面积为：＝〔10+4π．故选：C．9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为e,设地球半径为R,该卫星近地点离地面的距离为r,则该卫星远地点离地面的距离为〔A．r+RB．r+RC．r+RD．r+R[分析]由题意画出图形,结合椭圆的定义,结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离．解：椭圆的离心率：e＝∈〔0,1,〔c为半焦距；a为长半轴只要求出椭圆的c和a,设卫星近地点,远地点离地面距离分别为m,n,由题意,结合图形可知,a﹣c＝r+R,远地点离地面的距离为：n＝a+c﹣R,m＝a﹣c﹣R,a＝,c＝,所以远地点离地面的距离为：n＝a+c﹣R＝＝．故选：A．10．已知函数f〔x＝x﹣alnx﹣1存在极值点,且f〔x≤0恰好有唯一整数解,则实数a的取值围是〔A．〔﹣∞,1B．〔0,1C．〔0,D．〔,+∞[分析]利用导数可知函数f〔x在〔0,a单调递减,在〔a,+∞单调递增,再分0＜a≤1及a＞1讨论即可得出结果．解：函数的定义域为〔0,+∞,且,又函数f〔x存在极值点,即y＝f′〔x有变号零点,故a＞0,故函数f〔x在〔0,a单调递减,在〔a,+∞单调递增,注意到f〔1＝0,x→0时,f〔x＞0,①当0＜a≤1时,显然f〔x≤0恰好有唯一整数解x＝1,满足题意；②当a＞1时,只需满足f〔2＞0,即1﹣aln2＞0,解得；综上,实数a的取值围为．故选：C．11．已知F1,F2是双曲线C：﹣y2＝1〔a＞0的两个焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点,若|AB|＝,则△ABF2的切圆的半径为〔A．B．C．D．[分析]设左焦点F1的坐标,由过F1垂直于x轴的直线与椭圆联立可得弦长AB,再由椭圆可得a的值,进而可得双曲线的方程,及左右焦点的坐标,进而求出三角形ABF2的面积,再由三角形被切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得切圆的半径．解：由双曲线的方程可设左焦点F1〔﹣c,0,由题意可得AB＝＝,再由b＝1,可得a＝,所以双曲线的方程为：﹣y2＝1,所以F1〔﹣,0,F2〔,0,所以S＝•F1F2＝＝,三角形ABF2的周长为C＝AB+AF2+BF2＝AB+〔2a+AF1+〔2a+BF1＝4a+2AB＝4+2＝6,设切圆的半径为r,所以三角形的面积S＝＝＝3,所以3＝,解得：r＝,故选：B．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是棱AD,CC1,C1D1的中点,给出下列四个命题：①EF⊥B1C；②直线FG与直线A1D所成角为60°；③过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④三棱锥B﹣EFG的体积为．其中,正确命题的个数为〔A．1B．2C．3D．4[分析]画出几何体的图形,然后转化判断四个命题的真假即可．解：如图；连接相关点的线段,O为BC的中点,连接EFO,因为F是中点,可知B1C⊥OF,EO⊥B1C,可知B1C⊥平面EFO,即可证明B1C⊥EF,所以①正确；直线FG与直线A1D所成角就是直线A1B与直线A1D所成角为60°；正确；过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形ENFGI．所以③不正确；三棱锥B﹣EFG的体积为：VG﹣EBM＝＝．VF﹣EBM＝＝．所以三棱锥B﹣EFG的体积为．④正确；故选：C．二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知函数y＝f〔x的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称,则f〔4＝2．[分析]先利用反函数的定义求出函数f〔x的解析式,即可求出f〔4的值．解：由题意可知,函数y＝f〔x与函数y＝2x互为反函数,∴f〔x＝log2x,∴f〔4＝log24＝2,故答案为：2．14．设x,y满足约束条件,则z＝x﹣2y的最小值为﹣1．[分析]先根据条件画出可行域,设z＝x﹣2y,再利用几何意义求最值,将最小值转化为y轴上的截距最大,只需求出直线z＝x﹣2y,取得截距的最小值,从而得到z最小值即可．解：由约束条件得到如图可行域,由目标函数z＝x﹣2y得到y＝x﹣z；当直线经过A时,直线在y轴的截距最大,使得z最小,由得到A〔1,1,所以z的最小值为1﹣2×1＝﹣1；故答案为：﹣1．15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生A1,A2,A3和3名女生B1,B2,B3中各随机选出两名,把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,则A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为．[分析]先设分为甲乙两队,求出基本事件的总数,再根据A1和B1两人组成一队,求出符合条件的个数,相比即可求解．解：设分为甲乙两队；则甲队的人任选的话有：＝9种情况,乙队去选时有：＝4种情况；故共有9×4＝36种情况；若A1和B1两人组成一队,在甲队时,乙队有＝4种情况；在乙队时,甲队有＝4种情况；故共有4+4＝8种情况；所以：A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为：＝．故答案为：．16．记Sn为数列{an}的前n项和,若2Sn﹣an＝,则a3+a4＝﹣,数列{an+2﹣an}的前n项和Tn＝．[分析]〔1直接利用递推关系式的应用求出结果．〔2利用数列的递推关系式的应用和分组求和的应用求出结果．解：〔1由于数列{an}满足2Sn﹣an＝,①当n≥2时,②,①﹣②得：,整理得,所以．〔2由于,故③,所以④,③﹣④得：,所以…+,＝﹣2×〔+,＝〔﹣+〔,＝．故答案为：〔1,〔2三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.〔一必考题：共60分．17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况,从生产线上随机抽取了80个零件进行测量,根据所测量的零件尺寸〔单位：mm,得到如图的频率分布直方图：〔1根据频率分布直方图,求这80个零件尺寸的中位数〔结果精确到0.01；〔2已知尺寸在[63.0,64.5上的零件为一等品,否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率,从生产线上随机抽取1个零件,试估计所抽取的零件是二等品的概率．[分析]〔1由频率分布直方图中中位数两边频率相等,即可求出中位数的大小；〔2计算尺寸在[63.0,64.5外的频率,用频率估计概率,即可得出结论．解：〔1由频率分布直方图的性质得：〔0.075+0.225×0.5＝0.15,0.15+0.75×0.5＝0.525,所以中位数在[63.0,63.5,设为a,则0.15+〔a﹣63.0×0.75＝0.5,解得a≈63.47,所以估计中位数为63.47；〔2尺寸在[63.0,64.5上的频率为〔0.750+0.650+0.200×0.5＝0.8,且1﹣0.8＝0.2,所以从生产线上随机抽取1个零件,估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2．18．已知a,b,c分别是△ABC角A,B,C的对边,sin2A+sin2C﹣sinAsinC＝sin2B．〔1求sinB的值；〔2若b＝2,△ABC的面积为,求△ABC的周长．[分析]〔1由已知结合正弦定理及余弦定理可求cosB,然后结合同角平方关系可求sinB；〔2由已知结合三角形的面积公式可求ac,然后结合余弦定理即可求解a+c,进而可求三角形的周长．解：〔1因为sin2A+sin2C﹣sinAsinC＝sin2B．由正弦定理可得,,由余弦定理可得,cosB＝,故sinB＝；〔2∵S△ABC＝＝＝,所以ac＝3,因为,所以＝4+8＝12,所以a+c+b＝2+2．19．如图,三棱锥P﹣ABC中,PA＝PC,AB＝BC,∠APC＝120°,∠ABC＝90°,AC＝PB＝2．〔1求证：AC⊥PB；〔2求点C到平面PAB的距离．[分析]〔1取AC的中点为O,连接BO,PO,证明PO⊥AC,BO⊥AC,推出AC⊥平面OPB,即可证明AC⊥BP；〔2在直角三角形ABC中,由AC＝2,O为AC的中点,得BO＝1,求解PO＝,结合PB＝,可得PO⊥BO,又PO⊥AC,得到PO⊥平面ABC,然后利用等体积法求点C到平面PAB的距离．[解答]〔1证明：取AC的中点为O,连接BO,PO．在△PAC中,∵PA＝PC,O为AC的中点,∴PO⊥AC,在△BAC中,∵BA＝BC,O为AC的中点,∴BO⊥AC,∵OP∩OB＝O,OP,OB⊂平面OPB,∴AC⊥平面OPB,∵PB⊂平面POB,∴AC⊥BP；〔2解：在直角三角形ABC中,由AC＝2,O为AC的中点,得BO＝1,在等腰三角形APC中,由∠APC＝120°,得PO＝,又∵PB＝,∴PO2+BO2＝PB2,即PO⊥BO,又PO⊥AC,AC∩OB＝O,∴PO⊥平面ABC,求解三角形可得PA＝,又AB＝,得＝．设点C到平面PAB的距离为h,由VP﹣ABC＝VC﹣PAB,得,解得h＝,故点C到平面PAB的距离为．20．已知点P是抛物线C：y＝﹣3的顶点,A,B是C上的两个动点,且•＝﹣4．〔1判断点D〔0,﹣1是否在直线AB上？说明理由；〔2设点M是△PAB的外接圆的圆心,求点M的轨迹方程．[分析]〔1由抛物线的方程可得顶点P的坐标,设直线AB的方程,与抛物线联立求出两根之和及两根之积,求出数量积•,再由题意•＝﹣4可得直线AB恒过〔0,﹣1,即得D在直线AB上；〔2设A,B的坐标,可得直线PA,PB的斜率及线段PA,PB的中点坐标,进而求出线段PA,PB的中垂线的方程,两个方程联立求出外接圆的圆心M的坐标,由〔1可得M的横纵坐标关于参数k的表达式,消参数可得M的轨迹方程．解：〔1由抛物线的方程可得顶点P〔0,﹣3,由题意可得直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为：y＝kx+4,设A〔x1,y1,B〔x2,y2联立直线与抛物线的方程：,整理可得：x2﹣4kx﹣4〔b+3＝0,△＝16k2+16〔3+b＞0,即k2+3+b＞0,x1+x2＝4k,x1x2＝﹣4〔b+3,y1y2＝k2x1x2+kb〔x1+x2+b2＝﹣4k2〔b+3+4k2b+b2＝b2﹣12k2,y1+y2＝k〔x1+x2+2b＝4k2+2b,因为＝〔x1,y1+3〔x2,y2+3＝x1x2+y1y2+3〔y1+y2+9＝﹣4〔b+3+b2﹣12k2+3〔4k2+2b+9＝b2+2b﹣3,而•＝﹣4,所以b2+2b﹣3＝﹣4,解得b＝﹣1,m满足判别式大于0,即直线方程为y＝kx﹣1,所以恒过〔0,﹣1可得点D〔0,﹣1是否在直线AB上．〔2因为点M是△PAB的外接圆的圆心,所以点M是三角形PAB三条边的中垂线的交点,设线段PA的中点为F,线段PB的中点为为E,因为P〔0,﹣3,设A〔x1,y1,B〔x2,y2所以F〔,,E〔,,kPA＝,kPB＝,所以线段PA的中垂线的方程为：y﹣＝﹣〔x﹣,因为A在抛物线上,所以y1+3＝,PA的中垂线的方程为：y﹣+3＝﹣〔x﹣,即y＝﹣x+﹣1,同理可得线段PB的中垂线的方程为：y＝﹣x+﹣1,联立两个方程,解得,由〔1可得x1+x2＝4k,x1x2＝﹣4〔b+3＝﹣8,所以xM＝﹣＝k,yM＝＝＝2k2,即点M〔k,2k2,所以xM2＝,即点M的轨迹方程为：x2＝y．21．已知函数f〔x＝alnx﹣,曲线y＝f〔x在点〔1,f〔1处的切线方程为2x﹣y﹣2﹣e＝0．〔1求a,b的值；〔2证明函数f〔x存在唯一的极大值点x0,且f〔x0＜2ln2﹣2．[分析]〔1求导,可得f′〔1＝a,f〔1＝﹣be,结合已知切线方程即可求得a,b的值；〔2利用导数可得,x0∈〔1,2,再构造新函数,利用导数求其最值即可得证．解：〔1函数的定义域为〔0,+∞,,则f′〔1＝a,f〔1＝﹣be,故曲线y＝f〔x在点〔1,f〔1处的切线方程为ax﹣y﹣a﹣be＝0,又曲线y＝f〔x在点〔1,f〔