对幻六边形数学特性及其构造方法研究

三阶幻六边形，也称阿达莫斯幻方，是指将1～19自38。美国人阿达莫斯花费了47年，在1957年时才将其构5、内环和外环的数字组成及排7阶。幻六边形的特殊性前 正 一 推导并得出公式结 二 研究幻六边形的对称 三 找出可能的奇偶数分布 四 综合使用上述方法构造幻 五 对四阶幻六边形的研 讨 致 参考书 47年的时间！1962年阿达莫斯先生发表这个幻方的47WilliamMDalyGWAnderson1963年用IBM1620196729种排列的方法论证的。1964年，CharlesWTrigg以手工验算1896种排列图的方式重新验证了此结果。CharlesWTrigg提出的。这是在其唯一性证明方案中使用的一种他称之为“MethodofSearch”的方法。然而这种方法实质上18969种奇偶数分布即可构造出幻六边形，并同时证明唯一Aൌaଵ൅aଶ൅aଷ൅aସ൅Bൌbଵ൅bଶ൅bଷ൅bସ൅ڮbᇱൌbଵ൅bଷ൅bହ൅b൅൅bଽ൅∆bଵൌbଶ൅b൅൅∆bଶൌbସ൅b൅再将各行列上的数字之和用1代表（如右图3 ൅13ൌ3Φ൅A൅bᇱൌ114ฺΦൌ38ൌA3○4൅9 ൅14ൌ2Δbଵ൅A

ΔbൌΔbሺ

ฺቊ ฺ2൅7൅12ൌ2Δbଶ൅A A൅2Δbൌە1൅ ൅ ൅10൅11൅15ൌ2bᇱ൅2Δbൌ228ฺbᇱ൅Δbە3Φ൅Aൌ114ൌbᇱൌΔbൌଵଵସିAฺA൅2Φൌ Δbൌ114ൌbᇱൌA൅3Φൌ38൅۔bᇱൌ114ൌΔbൌA൅ΔbൌቄA൅38൅Φൌ2A൅3Φൌ76ൌ A൅114ൌbᇱฺAൌ2bᇱൌ3ሺ1ሻΦൌ38ൌ3ሺ5ሻሺ6ሻ∆bൌA൅3Φൌ38൅ൌ76Φሺ8ሻAൌ2bᇱൌ൏1൅由A൅2Φൌ38可知，A൏2൅由bᇱൌA൅Δbൌ76ൌΦ可知，bᇱ、Δb、Φ൏4൅A୫୧୬ൌ1൅2൅3൅4൅5൅7ൌ22（A为偶数，而1൅2൅3൅4൅Φ൅൞22൅A൅39൅Δb൅68൅bᇱ൅൅7൅9൅11ൌ36，此时Φ1，显然矛盾；而2൅4൅6൅8൅10൅1242൅36 51315个3时，在已知了Φൌ5，Aൌ2൅4൅6൅8൅1൅7ൌ28三、找出可能的奇偶数分布图（图中代表奇数，代表偶数导方式，一共可以排出9种分布图。3奇൅2121奇൅21奇（邻21奇൅21奇（对3偶൅2121偶൅21偶（邻21偶൅21偶（对9种奇偶数分布图是可能适用的，那么还能不能继续缩小范围呢？经过证明，൅10൅12ൌ42൅36，不满足要求，故①可被排除。③～⑨也可被证明不适用9种奇偶数分布图的一个最大好处就是可以更加简便地证明其唯一性。因1963年，WilliamM.DalyHoneywell‐800196729种布局9种奇偶数分布图再进行分析证明，只需分析9ൈ4ൌ36种数值组合即可。因为每一种分布图中Φ4种取值，1、3、5、72、4、6、8；3635以aଵ为关键点分析，令aଵൌ1816、14、12、10、8、6、4、2，举aଵ18为例已知bଶ൅aଵ൅a൅൅bଵ൅ൌ38ൌbସ൅aଶ൅aଵ൅21890，90ൌሺ2ൈ20ሻൌ18ൌ满足要求。依次令aଵ为16、14、12、10、8、6、4、2皆存矛盾现象。Aൌ24ൌ1൅3൅5൅9൅2൅根据对称性三，6不能出现在∆b任一位置上，只可能在bଽ或bଵଵ（b൅）处。若在bଽ处，则需要其两侧有两个32，但是这四个数逐一放到bଵଶ的位置上验证。当bଵଶൌ13，bଵൌ19，推出aଷ൅aସൌൌ1൅539在aଵ与a൅处，由对称性三得出b൅ൌ19，与bଵ冲突，反之亦然当bଵଶൌ15，bଵൌ17，推出aଷ൅aସൌ8ൌ3൅519在aଵ与a൅b൅ൌ17，与bଵ冲突，反之亦然。所以当Φൌ7布图不满足构造要求。再令Φൌ1、3、5，按同样方式分析，都会出现矛盾，故此对图⑤的排除：7以൏1൅为例，aଷ൅aସ的最小可能值是10൅2ൌ12，此时Φ否bଵଶൌ20超出范围，故Φൌ6，b൅ൌ8，这就要求aଵ൅a൅ൌ2（

Φ2、4、6、8，先令Φൌ8，则此时Aൌ22ൌ1൅3൅5൅7൅2൅18、16、14、12、10、6中能组38的组合只有18൅14൅6和16൅12൅10，故当Φൌ8时不满足要求。再令Φൌ2、4

Φൌ2，Aൌ4൅6൅8൅൅12൅1൅3Φൌ4，Aൌ൅6൅8൅10൅1൅只能出现在aଵ处或aଷ处（此时aସ处只能填2），如下图所示： 再令Φൌ2也会出现如上矛盾，故此分布图不适用。18偶数内，只能找出6、14、18与10、12、162、4、8Φ、aଶ、aହ先令Φൌ8，则Aൌ38ൌ16ൌ22ൌ1൅3൅7൅2൅4aଵ、a൅：1、3֜b൅ൌ aଷ、aସ：5、7֜bଵଶൌ20（舍去aଵ、a൅：1、5֜b൅ൌ 盾aଵ、a൅：1、7֜b൅ൌ16 aଷaସ：35֜bଵଶൌ16，16重复出现两次不合要求；所以当Φൌ8时，此分布图不满足构造要求。再令Φൌ2或4也都会出现矛盾，证合：Φൌ2，Aൌ4൅6൅8൅10൅1൅5֜bଷ൅bଽൌ3012൅1814൅16Φൌ2，Aൌ4൅6൅8൅12൅1൅3֜bଷ൅ൌ32ൌ14൅Φൌ4，Aൌ2൅6൅8൅10൅1൅3֜bଷ൅bଽൌ30ൌ12൅18或14൅ΦAΦA1357ሺ1ሻΦൌ7此时Aൌ38ൌ2Φൌ24，且由2个奇数与4个偶数组成，则只可能是2൅ൌ7൅1൅318143路的并行计算，立刻发现bଵ与b15，而这是幻方所不允许的，故Φൌ7不满足幻方要求，证毕。ሺ2ሻΦൌ3൏1൅Aൌ2൅4൅6൅8൅1൅1110、12、1614、൏2൅Aൌ2൅4൅6൅8൅5൅710、12、1614、൏3൅Aൌ2൅4൅6൅10൅1൅98、14、1612、൏4൅Aൌ2൅4൅6൅10൅1൅98、12、1814、൏5൅Aൌ2൅4൅8൅10൅1൅76、14、1812、൏6൅Aൌ2൅6൅8൅10൅1൅54、16、1812、14ሺ3ሻΦൌ1൏1൅Aൌ2൅4൅6൅8൅3൅1310、12、1614、൏2൅Aൌ2൅4൅6൅8൅5൅1110、12、1614、൏3൅Aൌ2൅4൅6൅8൅7൅910、12、1614、൏4൅Aൌ2൅4൅6൅10൅3൅118、14、1612、൏5൅Aൌ2൅4൅6൅10൅3൅118、12、1814、൏6൅Aൌ2൅4൅6൅10൅5൅98、14、1612、൏7൅Aൌ2൅4൅6൅10൅5൅98、12、1814、൏8൅Aൌ2൅4൅8൅10൅3൅96、14、1812、൏9൅Aൌ2൅4൅8൅10൅5൅76、14、1812、൏10൅Aൌ2൅6൅8൅10൅3൅74、16、1812、Φൌ5这个唯一可能了，当Φൌ5时，只有3种小情况。൏1൅Aൌ2൅4൅6൅12൅1൅38、14、1612、൏2൅Aൌ2൅4൅8൅10൅1൅36、14、1812、★൏3൅Aൌ2൅4൅6൅8൅1൅710、12、1614、对36种布局的简单分析，不仅得出了幻六边形的排列，还在同时证明了其唯一性。用3～39共37个数字组成的新图字之和均为111，若不按照上述原由3～39共37个数字组成的幻方Aൌaଵ൅aଶ൅aଷ൅aସ൅aହ൅Ԣൌଵ൅ଷ൅bହ൅൅൅ଽ൅ଵ ᇱൌbଶ൅ସ൅൅൅൅൅൅∆bଵൌbଶ൅b൅൅ ∆bଶൌbସ൅൅ൌcଵ൅cସ൅c൅൅cଵ൅൅cଵଷ൅cᇱᇱൌcଶ൅cଷ൅cହ൅c൅൅c൅cଽ൅cଵଵ൅cଵଶ൅cଵସ൅cଵହ൅cଵ൅൅ଵൌଶ൅ଷ൅൅ଽ൅ସ൅ହ ଶൌହ൅൅൅ଵ൅ଶ൅൅൅ሺ1ሻΦ൅bᇱሺ3ሻbᇱᇱൌ222Φ൅ۓA൅ۖΔb൅۔bᇱ൅ۖcᇱ൅ەΔc൅

ሺ5ሻbᇱᇱ൅cᇱᇱൌ444ሺ6ሻሺ7ሻΦ൅A൅∆bൌሺ8ሻ∆cଵൌൌ 着色三角形节点6个数字

着色梯形节点9个数字之

内部三角形节点6数字之点3个数字之和相等。

每个着色六边形ሺ顶点数字൅2ൈ中点数字ሻ值与另一同色六边形相等。A环中都存在四个相连的数字其和为31，如5൅7൅11൅8ൌ31，5൅11൅7൅86൅8൅5൅12ൌ31，6൅12൅8൅5ൌ31A与∆b3三阶幻六边形“对称性三”在四阶上的扩展，因为在三阶中有∆bൌA൅3Φ与∆b3ΦAΦ之和等于∆b对边的数字。如最后一图中Aൌ50，∆bൌ50，则图中∆b的14ൌ5൅9，19ൌ10൅9，16ൌ10൅6，18ൌ12൅620ൌ8൅12，13ൌ8൅5……Φ为某一值，计算b’ൌ111ൌ列举出ሼaxis୧ሽ3组无重复数字的组合ሼሼx୧ሽ,ሼy୧ሽ,在ሼx୧ሽ,ሼy୧ሽ,ሼz୧ሽ6数字之和为bᇱ，标记为得到知5131等推导路径。9种是可能存在的，继续缩小范围又会发现只有②才是Daly196729种布局、CharlesWTrigg1896种外圈排列方式相3～7阶幻六边形与各种传统正方形幻方可以总结出：在具有对称性且有特定中9种可能的奇偶数分布图中，唯一适用的一种（②）是唯一一个关此种方法可否用于解决高阶幻方？4阶已推导出不少公式、对称性与一部分奇偶数34 52735694675ൌൌ其

并可能回答猜想7所提出的问题；RogenBacon曾说：“数学是科学的大门和