湖北省武汉某中学高二数学期中考试试卷(理科)

武汉二中高二期中考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1、已知＞＞，且，则下列不等式恒成立的是（）、＞、＞、＞、＞2、已知＞，＜，则直线一定不经过（）、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限3、两圆相交于两点和，且两圆的圆心都在直线上，则的值为（）、3、、2、04、圆锥曲线的一条准线方程为，则的值为（）、、、、5、已知、为椭圆（＞＞）的焦点，为椭圆上一点，垂直于轴，且，则椭圆的离心率为（）、、、、6、给出下列命题：①若直线∥面，∥面，则∥；②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；③一个二面角的两个半平面所在的平面分别垂直于另一个二面角两个半平面所在的平面，则这两个二面角的平面角相等；④平面内的任一直线都平行于平面，则∥。其中正确命题的个数有（）、1个、2个、3个、4个7、如图将正方形沿对角线折成一个直二面角，则异面直线和所成的角是（）、、、、8、的展开式中第五项系数与第七项系数相等，则等于（）、8、9、10、119、设三棱柱的体积为，、分别为侧棱、上的点，且，则四棱锥的体积为（）、、、、10、已知棱长为1的正方体及其内部一动点，集合，则集合构成的几何体的表面积为（）、、、、二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡的相应位置。）11、不等式的解集为。12、设、，则的面积为。13、过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，为坐标原点，则的面积为。14、设球半径为，、是球面上北纬圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧长是，则这两点的球面距离是。15、从4名女生和3名男生中选出3人参加三个不同的培训班，每班一人。若这3人中至少有一名男生，则不同的选派方案共有种。（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16、（12分）用一块矩形木板紧贴一墙角围成一直三棱柱空间堆放谷物，已知木板的长为，宽为，（＞），墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直。怎样围法，能使直三棱柱的空间最大？最大值是多少？17、（12分）设是定义在上的函数，且满足（1）若，求；（2）若，请利用求。18、（12分）如图，梯形，∥，，是的中点。现将沿折起使点折到点的位置，且二面角的大小为。（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的大小。19、（12分）已知双曲线（＞，＞）的离心率，过点、的直线与原点的距离为。（1）求双曲线的方程；（2）直线与该双曲线交于不同的两点、，且、两点都在以为圆心的同一圆上，求实数的取值范围。20、（13分）已知正三棱柱的侧棱及底面边长都是。（1）试问在线段上是否存在点使得；（2）若，求二面角的大小；（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离。21、（14分）如图，点是的二面角的面内一点，到的距离为，过作于，在的延长线上，且，为的中点，面内的动点到平面的距离等于点到点的距离。在平面内以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系。（1）求点的轨迹方程；（2）若点是曲线上一点，且，点是点关于点的对称点，在曲线上有两点、，使的平分线垂直于轴。①求点的坐标；②是否存在实数使成立？请说明理由。高二期中考试数学参考答案（理科）选择题二、填空题11、12、113、14、15、186三、解答题16、解：≤（当且仅当时，取等号）………………4分当，时，………………7分当，时，………………10分∵＞，∴＞，…………11分当围成的直三棱柱的底面是等腰三角形，高为时，其体积有最大值。……12分17、解：（1）当时……3分，故………………6分（2）当时，………9分………12分18、（1）证明：易证、为正三角形，四边形为菱形，∴，设与交于，则为的中点，连接，又，∴，故。………………5分（2）解：由（1）知为二面角的平面角，故，∴。………………7分∵，∴面，作于，则面，连接，则为直线与平面所成角。…………………9分设，∵，∴，在中，，∴直线与平面所成角的大小为。…………12分19、解：（1）由已知有，双曲线方程为……5分（2）将代入，整理得：，则，且＞①…………………7分设、，的中点，则，，∴依题意有，∴②……………10分将②代入①得＞，∴＞或＜………………12分又＞，∴＞，故＞或＜＜。……………13分20、解：（1）当为的中点时，。证明：过作于，则为中点，连接，为在面内的射影，而，∴。…………4分（2）当时，过作于，连则为二面角的平面角。…………6分∵，，∴，故二面角的大小为。……9分（3）∵∥，∥面，因此、到面的距离相等，记为，而，∴到面的距离为，∴到面的距离为过作于，则面，∴为到面的距离，在，，∴到面的距离为。………13分21、解：（1）过作于，连，则，∴是二面角的平面角，故，∴。∴点的轨迹是以为焦点，为准线的椭圆，且，，，。则点的轨迹方程为。…