人教版高中数列知识点总结(知识点+例题)

Lesson6数列知识点1：等差数列及其前n项1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式如果等差数列怙｝的首项为a,公差为d,那么它的通项公式an=ai+(n—l)d.等差中项1如果A=a++b，那么A叫做a与b的等差中项.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d,(n,m^N*).⑵若｛a”｝为等差数列，且k+l=m+n,(k,l,m,n^N*)，贝Vak+ai一am+an.(3)若｛an｝是等差数列，公差为d则｛a2n｝也是等差数列，公差为2d.⑷若｛an｝,｛bn｝是等差数列，则｛pan+qbn｝也是等差数列.(5)若｛an｝是等差数列，公差为d则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m^N*)是公差为md的等差数列.等差数列的前n项和公式n(a]+an)n(n_1),设等差数列｛an｝的公差d其前n项和Sn=—分亠或Sn=na]+—2—d.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn=2n2+[a]—》n.数列｛an｝是等差数列Sn=An2+Bn,(A、B为常数).等差数列的最值在等差数列｛a｝中，a1>0,d<0,则S存在最大值；若a1<0,d>0,则S存在最小值.“““[难点正本疑点清源]1.等差数列的判定(1)定义法：(1)定义法：an'an-1=d(n±2)；⑵等差中项法：2an+1=an+an+2.2．等差数列与等差数列各项和的有关性质am，am+k，am+2k，°m+3k，…仍是等差数列，公差为kd数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．⑷若n为偶数，则S偶_S奇二为.若n为奇数，则S奇-S偶二a中(中间项).11n－1(n±2,n^N*),数n－1(n±2,n^N*),数(1)求证：数列｛bn｝是等差数列；⑵求数列｛an｝中的最大项和最小项，并说明理由.(1)证明"2-(n±2,n^N*)an－11

a-1n・°・n±2时bnbn-1n-11

a-1n1an-1-11：n2-——、an-1J1an-1-1word格式-可编辑-感谢下载支持例1(等差数列的判定或证明)：已知数列｛an｝中，竹=5,an=2列｛bn｝满足b尸占(n^N*).na1二一n-^-—1—二1.a-1a-1n-1n-1・•・数列｛b｝是以-2为首项，1为公差的等差数列.n2(2)解由⑴知,(2)解由⑴知,bn=n-2n-7设函数f设函数f(x)=1+22x-7易知fx)在区间(-00,H和£，+鬥内为减函数.・当n=3时，an取得最小值-1；当n=4时，an取得最大值3.例2(等差数列的基本量的计算)设a1，d为实数，首项为a,公差为d的等差数列｛an｝的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0.若S5=5，求S6及a1-15石=-15石=-3，a6=S6-S5=-8-解(1)由题意知s6=5a,+10d=5,所叫1a】+5d=-8.解得a1=7，所以S6=-3，a1=7.(2)方法一S5S6+15=0，・(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0，即2a21+9da1+10d2+1=0.因为关于a1的一元二次方程有解，所以A=81d2-8(10d2+1)=d2-8三0,解得dW-2护或d±2\2方法二S5S6+15=0，wordword格式-可编辑-感谢下载支持II(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,9da1+10d2+1=0.故(4。］+9d)2=di-8•所以d2±8.故d的取值范围为dW-2护或.卩.例3(前n项和及综合应用)(1)在等差数列｛an｝中，已知a1=20,前n项和为S”，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列｛an｝的通项公式是a”=4n—25，求数列｛la」｝的前n项和.解方法一Va1=20,S10=S15,TOC\o"1-5"\h\z10X915X145・・・10X20+-^-d二15X20+2—d,Ad=-3.f5A_565..an=20+(n-1)XI-3I--3n+3..*.a13-0，即当nW12时，an>0,n±14时，an<0,12X115方法二同方法一求得d--~5n(n-1•Sn-20n+—亍・••当n-12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13方法二同方法一求得d--~5n(n-1•Sn-20n+—亍丄3125224.•・•n$N*，•当n-12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12-S13-130.⑵Van-4n-25,an+1-4(n+1)-25,・an+1-an-4-d，又a1-4X1-25--21・所以数列｛an｝是以-21为首项，以4为公差的递增的等差数列.a-4n-25<0,令Inan+1-4(n+1)-2520,由①得n<6i；由②得n25i，所以n-6.即数列｛气|｝的前6项是以21为首项，公差为-4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而1a7l-a7-4X7-24-3.设｛|织啲前n项和为Tn，则n(n－1)J21n+—2X(-4)(nW6)n66+3(n66+3(n－6)+(n-6)(n-7)2X4(n27)-2n2+23n(nW6),2n2-23n+132(n三7).wordword格式-可编辑-感谢下载支持word格式-可编辑-感谢下载支持例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为3例5等差数列｛a｝,｛b｝的前n项和分别为｛S｝,｛T｝，且T^~7?+竽，则使得b为正整数的正整数nnnnTn—3bnnn的个数是3.（先求an/bnn=5,13,35）已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三常见思路：（1）算出前几项，再归纳、猜想；（2）“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+^=p（an+入），由待定系数法求出，再化为等比数列；（3）逐差累加或累乘法.例6已知数列b中，ai=1，当n$2时，其前n项和S满足a=磐二，则数列｛a｝的通项公n13nn2S—1nn式为2_一GG式为2_一GG1-324S—Snn—12S2n11nS一S=2SSn—=2（n工2）n—1nnn—1SSnn一1nSnSn1

2n+Jaaaaa=L•n=t3•2•anaaaa1n-1n-221例7在数列｛a｝中，a=2，a=a+ln（l+丄），则a=口",n1n+1nnn知识点2：等比数列及其n项和1．等比数列的定义2．等比数列的通项公式3．等比中项若G2=a•b（abHO），那么G叫做a与b的等比中项.4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an=anqn~m，（n，m^N*）.⑵若｛an｝为等比数列，且k+l=m+n，（k，1，m，n^N*），ak•al=am•an«（3）若｛an｝，｛bn｝（项数相同）是等比数列，^卩｛帆｝（九工0），

1]扑｛a1]扑｛an｝,｛气伸,'an

b1仍是等比数列lnjInj5.等比数列的前n项和公式等比数列｛an｝的公比为q(qHO),其前n项和为Sn，当q=l时，Sn=na］；当qHl时,牛―％q]_当qHl时,牛―％q]_q*S——nl－q6.等比数列前n项和的性质公比不为一l的等比数列｛a｝的前n项和为S，则S,S2—S,S3—S2仍成等比数列，其公比为qn7.等比数列的单调性q>10<q<1q=1q<0a>0递增递减常数列摆动数列a<0递减递增常数列摆动数列【难点】l.等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非常数．2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小．3•等比数列的前n项和Sn(l)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的注意这种思想方法在数列求和中的运用.(2)等比数列的通项公式an=(2)等比数列的通项公式an=1及前n项和公式Sna1(1-qn)_a1-anql－ql－q(qHl)共涉及五个量a,anlqlnlSnl知三求二，体现了方程的思想的应用.⑶在使用等比数列的前n项和公式时，如果不确定q与l的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q_l和qHl两种情况.例1：(l)在等比数列｛an｝中，已知a6—a4——24,a3a5——64，求｛aj的前8项和S8；⑵设等比数列｛an｝的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大的项为27，求数列的第2n项.⑴设数列｛an｝的公比为q,由通项公式analqn-l及已知条件得：a6-a4_alq3(q2-l)_24,①<a3・a5_(alq3)2_64.②由②得a、q3=±8.将aiq3=-8代入①式，得q2=-2,无解将=8代入①式，得q2=4,Aq=±2.,故舍去．当q=2时，°]=1,.・」8二勺=255；181-q当2时・a1(1-q8)85当q=-2时，°]=-1,.収二一1=85.181-q(2)若q=1，则na1=40,2na1=3280，矛盾.<・・qH1,・・a(1-qn)二.=40,1-qa1(1-q2n)1=3280,1-q①得：*=82，・心81,将③代入①得q二1+2a「又•/q>0,Aq>1,Aa1>0,｛°」为递增数列.an=a1qn-1=27，由③、④、⑤得q=3,a1=1,n=4.・a2=a8=1X37=2187.2n8例2已知数列｛an｝的前n项和为Sn，数列｛bn｝中，b1=a1，bn=an_an-1(n±2)，且an+Sn=n.⑴设cn=an—1,求证:｛cn｝是等比数列；(2)求数列｛bn｝的通项公式.1)证明an+Sn=n,an+1+Sn+1=n+1.②-①得an+12an+1=an+1an+1-1=1••an-12T首项c1=a1-1•c・・a1=2,・・c]二又cn=an-1，an+an+1=1，nn+1，・2(an+1-1)=an-1，n+1n・・・{an-i}是等比数列.1,又a1+a1=1,-2,公比q=2-・•・｛cn｝是以-2为首项，1为公比的等比数列.n-i(2)解由(1)可知cnn2).・••当n±2时，bn=an-an-11-费1n-"2).・••当n±2时，bn=an-an-11-费1n-"=(2》.n－4.…an=a§qn-5(2)*.*a3a4a5=8,又a3a5=a£,・a?=8,a4=2.・a2a3a4a5a6=a45=25=32.例4已知数列｛aj满足a1=1,a2=2,a”+2(1)令bn=an+]—a”，证明：｛b”｝是等比数列；⑵求｛an｝的通项公式.规范解答(1)证明b1=a2-a1=1，当n±2时，b=a〔nn+1anan-1+an2-11-2(an-an-1)=-・・・｛bn｝是首项为1，公比为-£的等比数列•[1分][5分][6分](2)解由(1)知bn=an+1当n±2时，aan|｝-1-an-1)[8分][10分]・°・a=c+1=1-nn=1-|B又b、=a、=£代入上式也符合，•:bn=]2).例3在等比数列｛an｝中，（1）若已知a2=4,a5=—£，求a”；（2）若已矢口a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.解⑴设公比为q,则汁3,即q3=-|,・・.q=-2[14分[14分]_2—.（三角函数）n-1当n=1时，3-I]-g1-1=1二Q]例4（07重庆11）设\'勃是1-a和1+a的等比中项，则a+3b的最大值为.例5若数列1,2cos0,22cos20,23cos30,…，前100项之和为0,则。的值为（）例簸於鈔2的三内角成等差数列，三边成等比数列，则三角形的形状为—等边三角形•【综合应用】word格式-可编辑-感谢下载支持例7•已知等差数列｛an｝的首项a1=1,公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列｛bn｝的第2项、第3项、第4项.⑴求数列｛an｝与｛bn｝的通项公式；C]+C]+c2+c3c2013⑵设数列｛cn｝对n^N*均有才+旷矿=an屮成立,12n解(1)由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,(1+4d)2=(1+d)(1+13d).解得d=2(°・°d>0).:.a=1+(n-1)^2=2n-1.n又b2=a2=3,b3=a5=9,:数列｛化｝的公比为3,:・b二3・3n-2=3n-1.n二a

b二a

bnn+1当心时说+*…c-1•+_1二ab]"•n－1两式相减得：n三2时，、=a1-a=2.bn+1nn:・c=2b二2・3n-1(n±2).nn又当n=1时，牛二笃，：.^二3.b1213(n二1).：c=<.n[2・3n-1(n±2)：C1+C2+C3+^+C20136-2X32013=3+=3+(-3+32013)=320131－3知识点3：数列的基本知识1,a与S的关系：a二S（n二1）或S-Snnn1nn-1TOC\o