贝叶斯模型在食品检验中的应用

贝叶斯模型在食品检验中的应用

0气温变化预测模型的建立近年来，自然环境恶化，环境问题前所未有。其中之一是温度变化。气温变化分析方法的探讨就是其中的关键问题之一,也是分析气温变化的基础。在气温变化预测过程中,如何选取预测方法是经常遇到的问题。这就迫切需要开发新的更能符合实际情况的更精确的评价方法和预测模型。在气温变化预测中,统计方法是最常用的方法,但非贝叶斯统计在做统计推断时不能充分利用样本的先验信息。贝叶斯预测模型的引用,可以在利用模型信息和数据信息的同时,充分利用先验信息,从而对气温变化做出更为准确的预测。1贝叶斯统计的概率分布贝叶斯预测是运用贝叶斯统计方法进行的一种预测,非贝叶斯统计在做统计推断时只依据两类信息:一是模型信息,另一是数据信息。而贝叶斯统计尚须利用另外一种信息,即有关总体分布的未知参数的信息,因为这类信息在进行试验以前就有,故一般称为先验信息。贝叶斯统计要求用未知参数θ的一个概率分布来表示,这个概率分布就称为先验分布。其一般模式是这样的:先验分布+样本信息==>后验分布。常用的贝叶斯预测模型包括常量模型、常均值折扣贝叶斯模型、单折扣线性增长模型、季节效应模型等。1.1般状态误差项,主要有表现为对每一时刻t1常均值模型记为外DLM{1,1,Vt,Wt},定义如下:观测方程:yt=μt+Vt,Vt~N[0,Vt]状态方程:μt=μt-1+Wt,Wt~N[0,Wt]初始信息:μ0/d0~N[m0,C0]其中μt是t时刻序列的水平,Vt是观测误差项或噪声项,Wt是状态误差项。由定理:对于每一时刻t,假设μt-1的后验分布(μt-1|Dt-1)∼Ν[mt-1‚Ct-1],则μt的先验分布为(μt|Dt-1)∼Ν[mt-1‚Rt]其中Rt=Ct-1+Wt。进而得出一步预测的推论1:(yt|Dt-1)∼Ν[ft‚Qt]其中ft=mt-1,Qt=Rt+Vt。推论2:μt的后验分布(μt|Dt)∼Ν[mt‚Ct]其中mt=mt-1+AtetCt=AtVt,At=Rt/Qt,et=yt-ft当观测误差方差和状态误差方差都是常数时,则称为常量模型。其计算步骤为:(1)Rt=Ct-1+Wt(2)Qt=Rt+V(3)At=Rt/Qt(4)ft=mt-1(5)et=yt-ft(6)Ct=AtV(7)mt=mt-1+Atet1.2常均值屈曲模型在实践中,常均值DLM{1,1,Vt,Wt}中的Wt一般不易求出,故在模型中引进了折扣因子δ,通常0<δ<1,且有R-1t=δC-1t,这表明先验精度等于折扣的后验精度。这种带有折扣因子的常均值动态模型,称为常均值折扣贝叶斯模型,记为DBM{1,1,V,δ}。由于Rt=Ct-1+Wt=Ct-1/δ故有Wt=Ct-1(δ-1-1)由此看出,常均值DLM{1,1,V,Wt}与DBM{1,1,V,δ}等价。故DBM{1,1,V,δ}为:yt=μt+Vt,Vt~N[0,V]μt=μt-1+Wt,Wt~N[0,Wt]其中Wt=Ct-1(δ-1-1)其计算步骤为:(1)Rt=Ct-1/δ(2)Qt=Rt+V(3)At=Rt/Qt(4)ft=mt-1(5)et=yt-ft(6)Ct=AtV(7)mt=mt-1+Atet1.3单扣线性增长dlm具有下列形式的预测函数:ft(k)=at0+at1k+…+atnkn-1(t>0,k>0)的可观测TSDLM称为n-1阶多项式DLM。当预测函数为以下形式时:ft(k)=at0+at1k(t>0,k>0)则称为一阶多项式模型。假设状态向量Qt=[Qt1Qt2]=[μtβt](1)则模型的方程为:观测方程:yt=μt+Vt状态方程:μt=μt-1+βt-1+Wt1,βt=βt-1+Wt1,其中:Wt=(Wt1,Wt2)′有:Vt~N[0,Vt]Wt~N[0,Wt]把状态误差方差阵为¯Wt=¯L2Ct-1L2(1-δ)/δ的一阶多项式模型称为单折扣线性增长DLM,其中δ~C(0,1)叫做折扣因子。其初始信息为:¯mt-1=[mt-1Dt-1]¯Ct-1=[ct-1,1ct-1,3ct-1,3ct-1,2]式中:Vt—观测方差;δ—折扣因子。预测过程计算步骤为:(1)Rt1=(Ct-1,1+Ct-1,2)/6Rt2=Ct-1,2/δRt3=(Ct-1,2+Ct-1,3)/6(2)Qt=Rt1+Vt(3)At1=Rt1/QtAt2=Rt3/Qt(4)ft=mt-1+bt-1(5)et=yt-ft(6)Ct-1,1=At1·VtCt-1,2=Rt2-At2·Rt3Ct-1,3=At2·Vt(7)bt=bt-1+At2etmt=mt-1+At1et+bt-1当看作两个因子独立时,即mt与bt不相关,则初始信息¯Ct-1简化为:¯ct-1=[ct-1,100ct-1,2]其计算步骤简化为:(1)Rt1=(Ct-1,1+Ct-1,2)/δRt2=Ct-1,2/δ(2)Qt=Rt1+Vt(3)At1=Rt1/Qt(4)ft=mt-1+bt-1(5)et=yt-ft(6)Ct-1,1=At1·VtCt-1,2=Rt2(7)bt=bt-1mt=mt-1+bt-1+At1et1.4约束条件1t的季节效应具有周期为p≥1的预测函数的标准季节因子DLM为:标准模型可写为:{¯Ep‚ˉΡ‚Vt‚¯Wt}观测方程:yt=¯E´p⋅¯ψt+Vt状态方程:¯ψt=ˉp⋅¯ψt-1+¯Wt将季节因子分解成非季节水平加上相对水平的季节偏差,称这一偏差为季节效应。状态向量¯ψt满足约束条件1′ψt的任一DLΜ{¯Ep‚ˉΡ‚Vt‚¯Wt},称为季节效应DLM。季节效应ψtj表示季节偏差,它们是受约束的季节因子。当用单折扣因子算法时,¯Wt=ˉp⋅¯Ct-1Ρ′(1-δ)/δ其中:ˉp=[010⋯0001⋯0┆┆┆┆┆000⋯1100⋯0]¯Ep=(1‚0‚⋯‚0)´其计算步骤为:(Ⅰ)对每一时刻t,(ψt|Dt)∼Ν[¯mt‚¯Vt]其中∶¯mt=(mt,0,⋯‚mt‚p-1)¯Ct=diag(ct,0,⋯‚ct‚p-1)(Ⅱ)当t=np时,记当前时刻为M(0),其计算步骤为:(1)Rt=Ct-p+1,0+PW(2)Qt=Rt+V(3)At=Rt/Qt(4)ft=mt-p+1,0(5)et=yt-ft(6)Ct,0=AtV(7)mt,0=mt-p+1,0+Atet类似地可以得到M(1),M(2),…等相应的季节因子的修正方程。1.5趋势/季节效应国家信息模型一阶多项式趋势/季节效应基将季节效应模型分别和常量模型、常均值折扣贝叶斯模型、单折扣线性增长模型相结合,则可以构成三个趋势/季节效应DLM:(1)常量/季节效应DLM(2)常均值折扣/季节效应DLM(3)一阶多项式趋势/季节效应折扣DLM其分别表示用常量模型、常均值折扣模型、单折扣线性增长模型的预测加上季节偏差。2常均值反增温模型根据所编计算机程序,对南宁地区的气温变化进行了预测。预测选取了3种模型,模型1是常量模型,模型2是单折扣线性增长模型,模型3是常均值折扣模型。表1是已知样品数据。其数据分布趋势为自20世纪70年代至90年代初,整体上随时间推移气温变化波动加大的趋势,但并无明显的增温现象(见图1)。南宁地区气温变化的预测,模型预测的初始信息为m0=0.8,C0=0.01,V=0.01,折扣因子δ取0.8。常量模型的预测结果见表2,单折扣线性增长模型的预测结果见表3,常均值折扣模型的预测结果见表4。3用通过常均值民族预测和单扣线性增长模型预测的方法,在一般不常量模型的预测结果为0.880,残差平方和是0.105,常均值折扣模型的预测结果为0.872,残差平方和是0.159,单折扣线性增长模型的预测结果为0.992,残差平方和是0.162。在此例中,常量模型的预测结果最有利(残差平方和最小)。常均值折扣模型和单折扣线性增长模型的预测结果也基本满足要求(残差平方和是0.159和0.162)。故对于随机波动、变化相对稳定的指标,用常量模型预测是比较精确和满足实际需要的。用常量模型预测的预测误差见图2,可以看出,除一个点外的预测误差都比较小,是完全可以被实际工作接收的。另外,对于满足指数、对数或幂函数形式的指标,可以先做一简单转换,再用单折扣线性增长模型来预测。如:对于对数形式,则可用y′=log(y)来代替y值做预测。4贝叶