第6章 互感电路

第六章互感电路6.1互感与互感电压6.2同名端及其判定6.3具有互感电路的计算6.4空芯变压器本章小结习题

6.1互感与互感电压

6.1.1互感现象

图6.1中,设两个线圈的匝数分别为N1、N2。在线圈1中通以交变电流i1,使线圈1具有的磁通Φ11叫自感磁通,Ψ11=N1Φ11叫线圈1的自感磁链。由于线圈2处在i1所产生的磁场之中,Φ11的一部分穿过线圈2,线圈2具有的磁通Φ21叫做互感磁通,Ψ21=N2Φ21叫做互感磁链。这种由于一个线圈电流的磁场使另一个线圈具有的磁通、磁链分别叫做互感磁通、互感磁链。图6.1互感应现象由于i1的变化引起Ψ21的变化,从而在线圈2中产生的电压叫互感电压。同理,线圈2中电流i2的变化,也会在线圈1中产生互感电压。这种由一个线圈的交变电流在另一个

线圈中产生感应电压的现象叫做互感现象。

为明确起见,磁通、磁链、感应电压等应用双下标表示。第一个下标代表该量所在线圈的编号,第二个下标代表产生该量的原因所在线圈的编号。例如,Ψ21表示由线圈1产生

的穿过线圈2的磁链。

6.1.2互感系数

在非铁磁性的介质中,电流产生的磁通与电流成正比,当匝数一定时,磁链也与电流大小成正比。选择电流的参考方向与它产生的磁通的参考方向满足右手螺旋法则时,可得

Ψ21∝i1

设比例系数为M21,则

Ψ21=M21i1

或

(6.1)

M21叫做线圈1对线圈2的互感系数,简称互感。

同理,线圈2对线圈1的互感为

可以证明,M12=M21(本书不作证明),今后讨论时无须区分M12和M21。两线圈间的互感系数用M表示,即

M=M12=M21

互感M的SI单位是亨(H)。

线圈间的互感M不仅与两线圈的匝数、形状及尺寸有关,还和线圈间的相对位置及磁介质有关。当用铁磁材料作为介质时,M将不是常数。本章只讨论M为常数的情况。6.1.3耦合系数

两个耦合线圈的电流所产生的磁通,一般情况下,只有部分相交链。两耦合线圈相交链的磁通越多,说明两个线圈耦合越紧密。耦合系数k用来表示磁耦合线圈的耦合程度。

耦合系数定义为

因为

所以而Φ21≤Φ11,Φ12≤Φ22,所以有

紧密绕在一起的两个线圈,当

时称全耦合。而两线圈轴线相互垂直且在对称位置上时,k=0。所以,改变两线圈的相互位置,可以相应地改变M的大小。

6.1.4互感电压

互感电压与互感磁链的关系也遵循电磁感应定律。与讨论自感现象相似,选择互感电压与互感磁链两者的参考方向符合右手螺旋法则时,因线圈1中电流i1的变化在线圈2中产生的互感电压为

(6.3)

同样,因线圈2中电流i2的变化在线圈1中产生的互感电压为

(6.4)

由式(6.3)和式(6.4)可看出,互感电压的大小取决于电流的变化率。当di/dt>0时,互感电压为正值,表示互感电压的实际方向与参考方向一致;当di/dt<0时,互感电压为

负值,表明互感电压的实际方向与参考方向相反。

当线圈中通过的电流为正弦交流电时,如

则

同理互感电压可用相量表示,即

式中,XM=ωM称为互感抗,单位为欧姆(Ω)。思考题

1.互感应现象与自感应现象有什么异同?

2.互感系数与线圈的哪些因素有关?

3.已知两耦合线圈的L1=0.04H,L2=0.06H,k=0.4,试求其互感。

4.U21=jωṀI1中互感电压的参考方向与互感磁通及电流的参考方向之间有什么

关系?6.2同名端及其判定

分析线圈的自感电压和电流方向关系时,只要选择自感电压uL与电流i为关联参考方向,其元件约束关系uL=L(di/dt)就成立,不必考虑线圈的实际绕向。当线圈电流增加时(di/dt>0),自感电压的实际方向与电流实际方向一致;当线圈电流减少时(di/dt<0),自感电压的实际方向与电流的实际方向相反。

分析互感线圈时,需要知道线圈的绕向。如图6.2所示,图(a)和图(b)的区别只是线圈2的绕向不同,其它情况相同。当线圈1的电流i1增加时,即di1/dt>0,由楞次定律知线圈2的互感电压u21的方向在图(a)中由注“*”号的一端指向另一端,在图(b)中由注“Δ”号的一端指向另一端。可见,要确定互感电压的方向时,需要知道线圈的绕向。图6.2互感电压与线圈绕向的关系6.2.1同名端

用同名端来反映磁耦合线圈的相对绕向,从而在分析互感电压时不需要考虑线圈的实际绕向及相对位置。

当两个线圈的电流分别从端钮1和端钮2流进时,每个线圈的自感磁通和互感磁通的方向一致,就认为磁通相助,则端钮1、2就称为同名端。如图6.1中的两个线圈,i1、i2分

别从端钮a、c流入,线圈1的自感磁通Φ11和互感磁通Φ12方向一致,线圈2的自感磁通Φ22和互感磁通Φ21方向一致,则线圈1的端钮a和线圈2的端钮c为同名端。显然,端钮b和端钮d也是同名端。而a、d及b、c端钮则称异名端。同名端用相同的符号“*”或“Δ”标记。为了便于区

别,仅将两个线圈的一对同名端用标记标出,另一对同名端不需标注。

在电路理论中,把有互感的一对电感元件称为耦合电感元件,简称耦合电感。图6.3所示为耦合电感的电路模型,其中两线圈的互感为M,自感分别为L1、L2。图中“*”号表示它们的同名端。6.2.2同名端的测定

如果已知磁耦合线圈的绕向及相对位置,同名端便很容易利用其概念进行判定。但是,实际的磁耦合线圈的绕向一般是无法确定的,因而同名端就很难判别。

测定同名端比较常用的一种方法为直流法,其接线方式如图6.4所示。当开关S接通瞬间,线圈1的电流i1经图示方向流入且增加,若此时直流电压表指针正偏(不必读取指

示值),则电压表“+”柱所接线圈端钮和另一线圈接电源正极的端钮为同名端。反之,电压表指针反偏,则电压表“-”柱所接线圈端钮与另一线圈接电源正极的端钮为同名端。上述实验告诉我们一个很有用的结论:当随时间增大的电流从一线圈的同名端流入时,会引起另一线圈同名端电位升高。判别互感线圈的同名端不仅在理论分析中很重要,而且在实际应用中也非常重要。如变压器使用中,经常根据需要用同名端标记各绕组的绕向关系。在电子技术中广泛应用的互感线圈,许多情况下也必须考虑互感线圈的同名端。6.2.3同名端原则

当两个线圈的同名端确定后,如图6.5所示,在选择一个线圈的互感电压参考方向与引起该电压的另一线圈的电流的参考方向遵循对同名端一致的原则下,有

(6.5)

其中,若di2/dt>0,按照同名端的概念u12>0,与实际情况相符。同理,若di1/dt>0,则u21>0。因此,利用同名端的概念在分析互感电路时,不必考虑线圈的绕向及相对位置,但对参考方向所遵循的原则必须理解和掌握。

在正弦交流电路中,互感电压与引起它的电流为同频率的正弦量,当其相量的参考方向满足上述原则时,有

(6.6)

可见,在上述参考方向原则下,互感电压比引起它的正弦电流超前π/2。例6.1图6.6所示电路中,M=0.025H,i1=2sin1200tA,试求互感电压u21。

解：选择互感电压u21与电流i1的参考方向对同名端一致,

如图6.6所示,则

其相量形式为

故

所以思考题

1.试判定图6.7(a)、(b)中各对磁耦合线圈的同名端。

2.在图6.4中,若同名端已知,开关原先闭合已久,若瞬时切断开关,电压表指针如何偏转?为什么?这与同名端一致原则矛盾吗?3.请在图6.8中标出自感电压和互感电压的参考方向,并写出u1和u2的表达式。6.3具有互感电路

6.3.1互感线圈的串联

1.顺向串联

所谓顺向串联,就是把两线圈的异名端相连,如图6.9所示。的计算

这种连接方式中,电流将从两线圈的同名端流进或流出。选择电流、电压的参考方向如图6.9所示,则在正弦电路中有

串联后线圈的总电压为

其中,LF为顺向串联的等效电感:

LF=L1+L2+2M

2.反向串联

反向串联是两个线圈的同名端相连,如图6.10所示。电流从两个线圈的异名端流入,电流、电压按习惯选择参考方向,如图6.10所示,则在正弦交流电路中有

其总电压为

其中,LR为线圈反向串联的等效电感:

由式(6.7)和式(6.8)可以看出,两线圈顺向串联时的等效电感大于两线圈的自感之和,而两线圈反向串联时的等效电感小于两线圈的自感之和。从物理本质上说明顺向串联时,

电流从同名端流入,两磁通相互增强,总磁链增加,等效电感增大;而反向串联时情况则相反,总磁链减小,等效电感减小。

根据LF和LR可以求出两线圈的互感M为例6.2将两个线圈串联接到工频220V的正弦电源上,顺向串联时电流为2.7A,功率为218.7W,反向串联时电流为7A,求互感M。

解：正弦交流电路中,当计入线圈的电阻时,互感为M的串联磁耦合线圈的复阻抗为

根据已知条件,顺向串联时有反向串联时,线圈电阻不变,根据已知条件可得

得

6.3.2互感线圈的并联

互感线圈的并联也有两种连接方式,一种是两个线圈的同名端相连,称同侧并联,如图6.11(a)所示;另一种为两个线圈的异名端相连,称异侧并联,如图6.11(b)所示。在图6.11所示电压、电流的参考方向下,可列出如下电路方程:

（6.10）

式(6.10)中互感电压前的正号对应于同侧并联,负号对应于异侧并联。求解式(6.10)可得并联电路的等效复阻抗Z为

（6.11）L为两个线圈并联后的等效电感,即

（6.12）

式(6.11)和式(6.12)的分母中,负号对应于同侧并联,正号对应于异侧并联。

有时为了便于分析电路,将式(6.10)进行变量代换、整理,可得如下方程:

式(6.13)中方程与图6.12所示电路的方程是一致的,因此,用图6.12所示无互感的电路可等效替代图6.11所示的互感电路。图6.12就称为图6.11的去耦等效电路,即消去互感后的等效电路。用去耦等效电路来分析求解互感电路的方法称为互感消去法。

在图6.12中,±M前面的正号对应于互感线圈的同侧并联,负号对应于互感线圈的异侧并联。而L1∓M和L2∓M中M前的负号对应于同侧并联,正号对应于异侧并联。同

时应当注意,去耦等效电路仅仅对外电路等效。一般情况下,消去互感后,节点将增加。有时还会遇到有互感的两个线圈仅有一端相连接的情况,如图6.13所示。在图示各量

参考方向下,其端钮间的电压方程为

（6.14）

式中,M前的正号对应于同侧相连,负号对应于异侧相连。由于̇I=̇I1+̇I2的关系,故式(6.14)也可写成

由式(6.15)可得图6.14所示的去耦等效电路模型。M前的正、负号,上面的对应于同侧相连,下面的对应于异侧相连。思考题

1.图6.15中给出了有互感的两个线圈的两种连接方式,现测出等效电感LAC=16mH,LAD=24mH,试标出线圈的同名端,并求出M。

2.两线圈的自感分别为0.8H和0.7H,互感为0.5H,电阻不计。试求当电源电压一定时,两线圈反向串联时的电流与顺向串联时的电流之比。

3.图6.16所示电路中,已知L1=0.01H,L2=0.02H,M=0.01H,C=20μF,R1=5Ω,R2=10Ω,试分别确定当两个线圈顺向串联和反向串联时电路的谐振角频率ω0。

4.画出图6.17所示电路的去耦等效电路,并求出电路的输入阻抗。6.4空芯变压器

变压器是利用互感来实现能量传输和信号传递的电器设备。它通常由两个互感线圈组成,一个线圈与电源相连接,称为初级线圈;另一个线圈与负载相连接,称为次级线圈。

若变压器互感线圈绕在非铁磁性材料制成的芯子上,则该变压器称为空芯变压器。图6.18所示为空芯变压器的电路模型。图中R1、L1分别表示初级线圈的电阻和电

感,R2、L2分别表示次级线圈的电阻和电感,两线圈的互感为M,以上均为变压器的参数。RL、XL为负载阻抗的电阻和电抗。当频率不很高时,一般可以忽略原、副线圈的匝间电容。

根据图中所示的电流、电压参考方向和线圈的同名端,应用KVL可以列出如下各回路电压方程:

(（6.16）

令

其中R22=R2+RL,X22=ωL2+XL,则

求解上述方程可得

由式(6.19)可以求出空芯变压器的输入阻抗为

其中

Z1f称为次级回路反射到初级回路的反射阻抗。由此可知,虽然初级回路与次级回路没有直接的电的连接,但由于互感作用使闭合的次级电路中产生了次级电流,该电流又影响了初级回路。从初级回路来看,次级回路的作用可以看作是在初级回路中