5静定结构影响线教程

第5章静定结构影响线

1主要内容§5-3机动法画影响线

§5-2各种静定结构的影响线§5-1移动荷载和影响线的概念§5-4三铰拱的影响线

§5-5影响线的应用

2§5-1移动荷载和影响线的概念

〔2〕荷载移动时，确定荷载的最不利位置，即使某个反力或内力到达最大值的荷载位置。移动荷载——是一组大小不变、方向不变、互相间的距离不变，但是作用位置随时间变化的荷载。如：汽车荷载、火车荷载、吊车荷载等。本章主要讨论静定结构在移动荷载作用下的反力与内力计算问题，具体解决以下两个问题。〔1〕荷载移动时，反力及内力的变化规律；3移动荷载结构内力随荷载的移动而变化,需要：研究内力的变化规律、变化范围及最大值，和产生最大值的荷载位置〔即荷载的最不利位置〕。研究方法：先研究单位移动荷载作用下的内力变化规律，再根据叠加原理解决移动荷载作用下的内力计算问题,以及最不利荷载的位置问题。作用下内力计算特点：§5-1移动荷载和影响线的概念

4影响线——是指结构上某一点的某个内力其值随单位移动荷载的位置变化而变化的规律。由于各个反力及内力的变化规律是各不相同的，因此只能逐个量值分别讨论。又由于移动荷载的特点，研究时可用一个单位的移动力进行，然后运用叠加原理，求出一组力作用下的结果。利用影响线可以确定结构在移动荷载作用下的最不利位置。§5-1移动荷载和影响线的概念

5P=1xy=RB1P=1RB＋RB影响线DyD§5-1移动荷载和影响线的概念

在Z的影响线中,横标表示的是P=1的作用位置；

竖标表示的是量值Z的值。如在RB影响线中的竖标yD表示的是：当P=1移动到

点时，产生的

支座反力。Z的影响线与量值Z相差一个力的量纲。所以反力、剪力、轴力的影响线无量纲，而弯矩影响线的量纲是长度。DB6§5-2各种静定结构的影响线

静定结构影响线绘制方法有：静力法和机动法。讨论的结构包括：简支梁、悬挑梁、多跨静定梁、桁架、组合结构、三铰拱。

〔1〕反力影响线把单位力

作用于梁的任意位置，求反力1）简支梁的影响线式①就是反力FYA的影响线方程--是一个直线方程。

得：……①FP=1xLAB7取两点：

影响线上的每一个竖标,表示的是:单位力作用于该位置时,反力FYA的大小。FYA的影响线方程：

1+FYA的影响线：

§5-2各种静定结构的影响线

FYB的影响线方程：

FYB的影响线：

+1取两点：

8〔2〕弯矩影响线求简支梁上C点弯矩的影响线方程*首先让单位力在C点的左侧移动，即：取CB为隔离体：……③式③为弯矩MC在AC段的影响线方程。FP=1xABCabFQCBCFYBMC§5-2各种静定结构的影响线

9*其次让单位力在C点的右侧移动，即:

取AC为隔离体:

……④式④为弯矩MC在CB段的影响线方程.

xFP=1ABCabFYAACFQCMC§5-2各种静定结构的影响线

10弯矩MC的影响线如下：

ab/L+abABCab§5-2各种静定结构的影响线

取两点：

弯矩MC在AC段的影响线方程：弯矩MC在CB段的影响线方程:11〔3〕剪力影响线作简支梁C点的剪力影响线：首先让单位力在C点的左侧移动，即：FP=1xABCab§5-2各种静定结构的影响线

取CB为隔离体：……⑤式⑤为剪力FQC在AC段的影响线方程。FQCBCFYBMC12剪力FQA在CB段的影响线方程。其次让单位力在C点的右侧移动，即：

FP=1ABaCb§5-2各种静定结构的影响线

x取AC为隔离体:

……⑥FYAACFQCMC剪力FQC的影响线：

ABC11+-a/Lb/L……⑤13单跨静定梁的影响线特点:反力影响线是一条直线；剪力影响线是两条平行线；弯矩影响线是两条直线组成的折线。a/l—b/l+FQCab/l＋MCRBB1＋1＋RBRACabxP=1lRAA§5-2各种静定结构的影响线

14CabxP=1lab/lM图(kN.m)P=1kNCabLab/l＋MC.I.L(m)弯矩影响线与弯矩图的比较影响线弯矩图荷载位置截面位置横坐标竖坐标yD不变变不变变单位移动荷载位置截面位置yDDyDD单位移动荷载移到D点时,产生的C截面的弯矩C点的固定荷载作用下,产生的D截面的弯矩§5-2各种静定结构的影响线

152〕悬挑梁的影响线〔1〕反力影响线作悬挑梁FYA的影响线，显然单位力在AB段移动时，其影响线与相应简支梁的影响线相同，因此只需研究DA段和BE段。DA段：影响线一定是直线，因此只需把力作用于D点，求出FYA的值即可。由：得：ABCEDabddLABCEDLddFP=1§5-2各种静定结构的影响线

161+d/L1+d/L-BE段：同样只需把力作用于E点，求出FYA的值即可。

得：FYA的影响线如下：

结论：画悬挑段的某量值的影响线只需把相应简支梁的影响线延长即可。

ABCEDLddFP=1§5-2各种静定结构的影响线

17〔2〕弯矩影响线作图示悬挑梁MC的影响线可用上面的结论作图，先画出AB简支梁段MC的影响线，然后把左线和右线延长即可。

MC的影响如下：

ab/L+ab§5-2各种静定结构的影响线

C18〔3〕剪力影响线作图示悬挑梁FQC的影响线同样可以先画出AB简支梁段FQC的影响线，然后把左线和右线延长即可。

FQC的影响如下：

11+-a/Lb/L§5-2各种静定结构的影响线

C19画多跨静定梁的影响线是以简支梁和悬挑梁的影响线为根底的。3〕多跨静定梁的影响线

▲作图示多跨静定梁反力FYA的影响线

ABD局部是根本局部，DC局部是附属局部，当力在ABD段移动时，FYA的影响线就是悬挑梁的影响线。当力在DC段移动时，FYA的影响线应该是直线，因此取两点的值即可。FYA的影响线：

LabACBD1+-§5-2各种静定结构的影响线

20▲

作FYD的影响线

由于FYD是附属局部的反力，当力在根本局部移动时FYD为零，当力在DC局部移动时，FYD是简支梁的反力。FYD的影响线：

▲

作ME的影响线

由于ME是根本局部的量值，因此在整个梁上都有量值。ME的影响线：

cb/L+-ALabCBD1+E§5-2各种静定结构的影响线

21+--▲

作FQE的影响线

由于FQE是根本局部的量值，因此在整个梁上都有量值。FQE的影响线：

11E§5-2各种静定结构的影响线

224〕间接荷载作用下的影响线如下图，主梁AB所受的荷载为间接荷载。作主梁k点在间接荷载作用下的弯矩影响线。分AC、CD、DB三段讨论。由于k点在CD段，当力在AC、DB段移动时，k点的弯矩与直接荷载作用下相同。eK§5-2各种静定结构的影响线

dddFp=1ADCBKMKFP=1FYAAKMKFP=1FYBB隔离体：23当力在CD段移动时，k点的弯矩求解如下：直线方程xFp=1FYDFYCCDFYCFYDFYAFYBAKBFYAFYCMKAK§5-2各种静定结构的影响线

24显然MkCD是x的一次函数，因此在CD段的影响线也是条直线。取两点：

刚好等于AC段在C点的值Mk的影响线如下：

刚好等于DB段在D点的值

d+e2d-eKADCB（2d-e)/3（d+e)/3§5-2各种静定结构的影响线

25a、先画出直接荷载作用下的影响线；

间接荷载作用下的影响线可以按以下步骤作图：

b、对需求点所在区段的影响线进行修正。

按以上步骤作k点的剪力影响线如下：

1KADCB1§5-2各种静定结构的影响线

2611作图示结构C点的剪力影响线：

C点处有一次梁，因此剪力有突变：应为FQC左和FQC右。FQC左在AC段，因此AC段应该修正，FQC右在CD段，因此CD段应该修正，影响线如下：

FQC左影响线ACB1FQC右影响线ADCB1§5-2各种静定结构的影响线

dddFp=1ADCB27d85d43d1615横梁纵梁主梁ABCEFRARBl=4dd/2d/2DP=1MD影响线P=1P=1DxP=1P=1MD.I.L＋FQD.I.L1/21/4＋－§5-2各种静定结构的影响线

结点荷载下影响线特点1、在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同.2、相邻结点之间影响线为一直线。结点荷载下影响线作法1、以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。2、以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。28例：求图示结构FYA、FQE、FQF的影响线。FYA影响线FQE影响线12m1m1m1m1m1m1m1m1mDBAFCE11§5-2各种静定结构的影响线

29例：求图示结构FYA、FQE、FQF的影响线。2m1m1m1m1m1m1m1m1mDBAFCE§5-2各种静定结构的影响线

FQF左影响线1FQF右影响线130fFP=1hgDCBAe6〕静定桁架的影响线桁架上作用的移动荷载，一般是间接荷载，因此它的影响线作法与间接荷载作用下的根本相同。例：求图示桁架ef、gh、eg杆的影响线，荷载在CD间及AB间移动。

〔1〕作ef杆的影响线，荷载在CD间移动把荷载移动分三段：C-e、e-f、f-D。首先让荷载作用于C-e段，取n-n截面，可得：§5-2各种静定结构的影响线

nn31①

作基线，它的范围是：A-B；其次让荷载作用于f-D段，还取n-n截面，可得：

作FNef的影响线：

§5-2各种静定结构的影响线

把相应简支梁Mho的影响线作于基线的下方，并把相应的竖标除以h;③对上述影响线进行修正：a.把AC段和DB段去掉〔因为荷载没有在这两段上移动〕;b.找到e、f两点影响线的值，把这两点连以直线，即为e-f段的影响线。32FNef影响线荷载在A-D移动2h3d2h3d§5-2各种静定结构的影响线

fFP=1hgDCBAeh3dh3dFNef影响线荷载在C-D移动33〔2〕作eg杆的影响线当荷载在h-B段时，同样可得：先作荷载在下弦移动同理可得到荷载在上弦移动时FNeg的影响线。§5-2各种静定结构的影响线

fFP=1hgDCBAemmFP=1当荷载在A-g段时，作m-m截面，可得：34§5-2各种静定结构的影响线

fFP=1hgDCBAe11mmFNeg影响线荷载在下弦移动FP=1FP=111FNeg影响线荷载在上弦移动35〔3〕作gh杆的影响线当荷载在h-B段时，同样可得：同理可得到荷载在上弦移动时FNgh的影响线。先作荷载在下弦移动。当荷载在A-g段时，作n-n截面，可得：§5-2各种静定结构的影响线

fFP=1hgDCBAennFP=136FNgh影响线荷载在下弦移动FNgh影响线荷载在上弦移动3h4dfFP=1hgDCBAenn2d/h2d/h3h4dFP=1§5-2各种静定结构的影响线

377〕组合结构影响线例：求图示组合结构FNEF、MD、FQD的影响线。

1、FNEF影响线：

2.5＋3×4=12mFEDCAB1.2m§5-2各种静定结构的影响线

FP=1mm5作m-m截面求得：382、MD影响线

荷载在AD段移动

：荷载在CB段移动

：荷载在DC段移动

：影响线应是直线，因此取D和C两点的值连以直线即可。1.5＋－0.75FEDCAB3×4=12m1.2mFP=1FP=1FP=1§5-2各种静定结构的影响线

393、FQD左影响线

荷载在AD段移动

：荷载在DC段移动

：荷载在CB段移动

：0.250.5－－0.75FEDCAB3×4=12m1.2mFP=1FP=1FP=1§5-2各种静定结构的影响线

40FQD右影响线

荷载在AD段移动

：荷载在DC段移动

：荷载在CB段移动

：0.25＋－0.75FEDCAB3×4=12m1.2mFP=1FP=1FP=1§5-2各种静定结构的影响线

41§5-3机动法画影响线

机动法画影响线

机动法画影响线运用的是虚位移原理。具体步骤是：

a、要求哪一点哪个量值的影响线，就把相应的约束去掉，用力来代替〔称为真实的力状态〕；b、让去掉约束后的机构沿着力的方向发生单位的虚位移〔称为虚设的位移状态〕;c、让真实的力到虚设的位移上去做虚功，由虚功方程：所有外力所做的虚功=0，可得到影响线方程；虚设的位移状态就是所要求的影响线。421〔1〕求简支梁反力的影响线真实的力状态把FYA的约束去掉，用力代替，得到一个机构，让该机构沿着力FYA的方向发生一个虚位移，设虚位移为1：虚设的位移状态

Fp=1YABAB§5-3机动法画影响线

命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：得：……①是移动单位力所对应的位移，由于单位力可以在整个梁上移动，因此虚设位移图上的任意点都可称为因此虚设的位移图就是FYA的影响线。43命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：

……②虚设的位移状态

α+β=1βα§5-3机动法画影响线

MCba〔2〕求简支梁弯矩的影响线真实的力状态Fp=1ABC把C点的抗弯约束去掉，用一对力矩MC代替，得到一个机构，让该机构沿着力矩MC的方向发生一个虚位移，设C点发生的相对转角。由式②可知，虚位移图就是MC的影响线。

44〔3〕求简支梁剪力的影响线把C点的抗剪约束去掉，用一对剪力FQC代替，得到一个机构，让该机构沿着剪力FQC的方向发生一个虚位移，设C点发生的相对错动：a+b=1。真实的力状态Fp=1

虚设的位移状态

FQCABCba§5-3机动法画影响线

命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：……③由式③可知，虚位移图就是FQC的影响线。45P=1xP=1xailCZ(x)1＋－1δP(x)要求量值Z〔支座反力RA〕影响线，将与Z相应的约束解除，代以未知力Z，得到有一个自由度的机构。然后让机构沿Z的正方向发生单位虚位移。列出刚体虚功方程，力与位移同向时虚功为正。Z的影响线，基线以上的竖标为正P=1作用点的竖向虚位移图，向下为正（与P=1同向）。于是得到：所得虚位移图即Z的影响线。基线以上的虚位移图是正影响线，基线以下的虚位移图是负影响线。§5-3机动法画影响线

46b/la/lI.L.FQCP=1CFQCP=1xablC＋－－P=1CP=1xablC1b＋－ab/lI.L.MC所作虚位移图要满足支承连接条件！如有竖向支撑处，不应有竖向位移。定向连接处左右杆段位移后要互相平行。1§5-3机动法画影响线

471m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG11m1/43/49/49/29/4作I.L.MK＋＋－－－I.L.Mk(m)1/43/49/49/29/4用机动法作图示多跨静定梁的影响线。§5-3机动法画影响线

48Qk11/43/41/43/43/23/4＋＋＋－－－I.L.QKMC11作I.L.FQK作I.L.MC1m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1/43/41/43/43/23/422I.LMC(m)＋－1§5-3机动法画影响线

49121RD11.51m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG作I.L.FQE作I.L.RDI.L.QE＋＋－121＋I.L.RD1.5FQE§5-3机动法画影响线

50§5-3三铰拱的影响线

例：求图示三铰拱D点内力的影响线

〔1〕MD的影响线MD0影响线－HyD影响线MD影响线220.670.5DBAC2.25m3m1.5m4.5m51〔2〕FQD的影响线FQD0Cosα影响线

－HSinα影响线FQD影响线0.9490.6320.4730.5270.158DBAC2.25m3m1.5m4.5m§5-3三铰拱的影响线

52〔3〕FND的影响线FND影响线－HCosα影响线－FQD0Sinα影响线0.3161.8980.7391.1070.528DBAC2.25m3m1.5m4.5m§5-3三铰拱的影响线

53§5-5影响线的应用

简支梁反力FYA的影响线如下所示，其中C点的竖标yc是单位力作用在C点时，反力FYA的大小。假设C点作用一集中力FP时，显然假设简支梁上作用有一组位置确定的荷载时，FYA的计算如下：1〕当荷载位置确定时求某量值的大小yc1CBAFpynyiy2y1Fp1Fp1FpiFpnAB54假设简支梁上作用有位置确定的均布荷载时，FYA的计算如下：利用影响线计算在位置确定的荷载作用下某一量值大小的方法如下：

①作出某一量值S的影响线；

②利用下式求出该量值的大小。

dxbaq§5-5影响线的应用

551〕求影响量b/la/l＋－I.L.FQCy1FP1y2FP2y3FP3a〕集中荷载FQC=FP1y1+FP2y2+FP3y3一般说来：ablCabl↓↓↓↓↓↓↓↓qABqdxb〕均布荷载dω=ydxFQC=qω正的影响线取正面积b/la/l＋－yxdxβξξ0定理：当一组平行力作用在影响线的同一直线段上时，这组平行力产生的影响等于其合力产生的影响。I.L.QCy0c§5-5影响线的应用

561〕利用影响线求各种固定荷载作用下的影响量一般说来：Z=∑Piyi+∑qiωi+∑mitgθi集中力偶影响梁计算式中，yi为集中荷载Pi作用点处Z影响线的竖标，在基线以上yi取正，Pi向下为正；ωi为均布荷载qi分布范围内Z影响线的面积，正的影响线计正面积，qi向下为正；θi为集中力偶mi所在段的影响线的倾角，上升段影响线倾角取正，mi顺时针为正。6m3m6m6m3m3m3m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓P1PiqiKmq1I.L.Zy1ylθωiω157例：利用影响线，求出图示梁C点的弯矩。FP1=10kN,

FP2=5kN,,q=2kN/m,解：作C点的弯矩影响线如下所示

。DBCAFp10.250.50.51qFp22m1m1m1m1m1m§5-5影响线的应用

MC影响线582〕确定移动均布活荷载的最不利布置移动均布活荷载指的是：人群荷载、雪荷载、雨荷载等，它不是永久作用在结构上的。以下图是悬挑梁C点的弯矩影响线，假设要求C点正弯矩的最大值，显然应把移动均布活荷载布满AB之间。假设要求C点负弯矩的最大值，应把移动均布活荷载布满DA和BE之间。MCEDCBA§5-5影响线的应用

59例：求图示多跨静定梁FYB、MB的最不利荷载布置。

FYB的最不利布置解：MB的最不利布置ABCDABCD§5-5影响线的应用

603〕确定移动集中荷载的最不利位置〔1〕影响线是三角形时的判别公式推导：图示是一组移动集中荷载及某量值的影响线。荷载处于图示位置时，量值S的大小为:

F1F2F3FiFi+1Fnbahy1y2y3yiyi+1yn§5-5影响线的应用

61设荷载向右移动,那么S2为：S的增量为：在影响线的同一条直线上有：于是△S可写成

：§5-5影响线的应用

bahy1y2y3yiyi+1yn62当S为极大值时，

往左或往右移动，

都是小于等于零。当S为极小值时，

往左或往右移动，

都是

大于等于零。

要满足上述条件，必须有一个力FPi作用在影响线的尖顶上。F1F2F3FiFi+1Fnbahy1y2y3yiyi+1yn§5-5影响线的应用

63①往右移动，FPi落在‘b’段内则有：

②往左移动（是负的），FPi落在‘a’段内则有：

假设上二式成立，FPi就称为是临界荷载，用FCR表示。把FCR左边的力称为F左，把FCR右边的力称为F右，判断公式可写成：§5-5影响线的应用

当求极大值时：64①往右移动，FPi落在‘b’段内则有：

②往左移动（是负的），FPi落在‘a’段内则有：

当求极小值时：

判断公式：§5-5影响线的应用

6515m25mC70kN13050100501004m5m4m15m4m2520015130701570>+25200130+<MC=70×6.88+130×9.38+50×7.50+100×6.00+50×0.38＝2694kN.m9.386.887.506.000.38MC影响线(m)例：求C截面的最大弯矩。(汽－15级〕∴130kN是临界荷载70kN13050100501004m5m4m15m4m66100kN5013070100504m5m4m15m4m2522013015150>15150+25220130+<15m25mCMC影响线(m)9.386.257.880.753.752.25MC=100×3.75+50×6.25+130×9.38+70×7.88+100×2.25+50×0.75＝2720kN.mMcmax=2720kN.m∴130kN是临界荷载67〔2〕影响线是多边形时§5-5影响线的应用

Z影响线P1P2P3P4P5P6R1R2R33y2y1y1yΔ2yΔ3yΔα1>0α2>0α3<0≤0当Δx＞0时(右移)∑Ritgαi≤0当Δx＜0时(左移)∑Ritgαi

≥0Z成为极大值条件：荷载左、右稍移≥0当Δx＞0时(右移)∑Ritgαi

≥0当Δx＜0时(左移)∑Ritgαi

≤0Z成为极小值条件：荷载左、右稍移R1R2R3ΔxΔxΔx1)Z达极值时，荷载稍向左、右偏移，∑Ritanαi必变号。2)有一集中力