6第七章平面立体

第七章平面立体§7-1平面立体的投影及外表取点§7-4平面立体与平面立体的相贯§7-3平面立体的贯穿点§7-2平面立体的截交线§7-5同坡屋面的交线§7-1平面立体的投影及外表取点任何立体均占有一定的空间，并由围成该立体的各个外表确定其范围及形状。根据立体外表的平、曲性质不同分为平面立体和曲面立体。平面立体——外表由平面多边形围成的立体叫平面立体，平面与平面的交线为立体的棱线，侧外表称为棱面，上下外表分别叫顶面或底面。通常平面立体又分为棱柱体、棱锥体、棱台体等。平面立体的投影特点：由各个棱面、棱线的投影形成投影图，通常由一些封闭的多边形组合而成，可见的棱线画成粗实线，不可见的棱线画成细虚线。一、棱柱的形体特征及投影特性因正棱柱的侧棱垂直于投影面，故它在该投影面上的投影积聚为多边形，另外两个投影轮廓线为矩形。注意:图中去掉了轴线和45°辅助线,这是由于通过体上的点线面等的相对位置来决定立体三个投影的相对位置,但是要特别注意：在俯、侧视图上的相对坐标关系.yy六棱柱的投影图yy虚线和实线重合的时候，只画可见的实线。二、棱锥的形体特征及投影特性当棱锥的底面平行于投影面时，它在该投影面上的投影为实形〔不可见〕，另外两个投影其轮廓线为三角形。s

a

c

b

ascbb

（c

）s

a

三棱锥的投影图注意：S点的侧面投影位置,正三棱锥的侧面投影并不是等腰三角形。yy三、平面立体外表上取点平面立体外表取线定点的原理及方法与单一平面内取线定点的方法根本相同。平面立体可看作是由假设干个多边形平面所围成，所以在平面立体外表上取点或取线时，应由点的投影位置及可见性，分析判断该点所属外表，假设该外表有积聚性，那么利用积聚性的投影直接作出，假设该外表没有积聚性，那么过点在该外表内引辅助线求出。但要注意判别所求点的所属性和可见性，处于不可见棱面上的点是不可见的点，用括号括起来表示。b

ca

a

bb

aABc′Cc″(d′)dd〞()立体外表取点的步骤﹕AA先由点的投影位置及可见性,分析判断该点所属的外表;假设该面有积聚投影,利用它可直接补出点的另一投影;假设该面无积聚投影,那么过点在该面内作一条辅助线,再于此线上定点,并判别可见性。棱柱外表上取点点A在铅垂面内,可利用积聚性投影求a点B在铅垂线上,可利用属于直线的点的投影特性求b和b〞点C在水平面内,可利用积聚性投影求c′判别点的可见性的原那么是﹕某投影中,点的可见性与点所在外表的可见性相同k

三棱锥外表上取点abcc′b′a′s′sa〞(c〞)s〞SABCb〞kk

Ke

eEe

棱线上取点(较特殊的点〕SABC三棱锥外表上取点abcc′b′a′s′sa〞(c〞)b〞s〞FEe

f

ef1

Dd′d1

Ⅰ1平面立体可看作是由假设干个平面图形所围成的，所以在平面立体外表上取点或取线时，应把属于平面立体的棱面作为单独的平面来考虑。△SAB为一般位置平面,它的每个投影都没有积聚。在该面上取点必须作辅助线。作辅助线常用的方法有两种﹕1)过点作该面底边的平行线；2)作点与顶点的连线;再于辅助线上定点。棱面上取点SABC(4)abcc′b′a′s′sa〞(c〞)s〞b〞2´2″2Ⅱ()(3)33

4

4

§7-2平面立体的截交线

平面与立体相交亦称平面截割立体,其平面与立体的交线称为截交线，这种交线在实际工程及物体中十分常见。P截平面与立体外表的交线叫做截交线。截割立体的平面叫做截平面

由截交线围成的平面图形称为截断面(或断面)。

多边形各顶点是立体棱线与截平面的交点。平面立体截交线的性质〔1〕平面立体的截交线是截平面与平面立体外表的共有线，截交线上的点是截平面与立体外表上的共有点。〔2〕由于平面立体的外表都具有一定的范围，所以截交线通常是封闭的平面多边形。〔3〕多边形的各顶点是平面立体的各棱线或边与截平面的交点，多边形的各边是平面立体的棱面与截平面的交线，或是截平面与截平面的交线。求平面立体截交线的方法交点法：求出截平面与立体各棱线的交点，再按一定的连线原那么将交点相连，即得截交线。交线法：求出截平面与立体各棱面的交线，即得截交线。交点连成截交线的原那么是：位于立体的同一外表的两点才能相连，通常为闭合的平面折线。位于可见平面的截交线为可见线，画成粗实线，位于不可见平面的截交线为不可见线，画成细虚线。例题﹕求作正垂面P截割六棱柱的截交线。PV6254316〞1〞5〞4〞3〞2〞(5′)3′4′(6′)2′1′ⅥⅤⅣⅢⅡⅠ1、棱柱上截交线的求法⑴分析⑵作图①作出截平面与棱柱的交点、交线②依次连接各点③判断可见性④整理轮廓线⑶检查加深图线⑴分析截平面P与六棱柱的六个棱面都相交,截交线为一个六边形;截平面P是正垂面,其正面投影PV有积聚性,截交线的正面投影积聚在PV上,又因为六棱柱的六个侧棱面都垂直于水平面,故截交线的水平投影积聚在六棱柱各棱面的水平投影上。所以只需求截交线的侧面投影。1′1〞

2′13′36′4′5′例题求五棱柱的截交线5423″64″5″6″分析图形求截交线上的转折点依次连接转折点完成图形2″45例题求立体截切后的投影8"9"(6)(7)(9)(8)(10)4′1'2'（3'）(5′)110'1"322"3"yy5"4"yy8'（9'）(7′)6'7"6"10"例题求立体截切后的投影1'（2'）7'4‘（3'）5‘（10'）6'11'（9'）（8'）1"2"3"4"5"10"9"6"8"11"7"6978111（4）2（3）510例题﹕求四棱锥的截交线。并求断面实形。分析图形,补出完整图形根据条件求出棱线上的点依次连接按线型补出图形y3y42′21′1y4y3432″1″4′(3′)4″3″23541

11

6

6

5

4

3

2

64

（5

）2

（3

）例题4求四棱锥截切后的投影

ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4

3

1

2

6

5

11

4

5

65234（6

）（2

）（3

）例题求立体截切后的投影

ⅠⅥⅤⅣⅢⅡ例题带缺口正三棱锥的正面投影,补全水平投影和侧面投影截平面Q为水平面，完全截断与三棱锥的截交线为与锥底相似的三角形。PVQV截平面P为正垂面，根据棱线上的点可以求出截交点分析图形判断截平面的空间位置。判别可见性，加深图线，完成作图。4

4

y3

3

332211

求带缺口的四棱台的H、W投影1′3′4′2′7′6

6

y2

2

44555

5

6′5′6677

习题：作出带截面和缺口的四棱柱的水平投影。8′5′7′6′2′4′3′1′8〞7〞6〞5〞4〞3〞2〞1〞78341265V作业评讲：作出六棱锥被P、Q平面截割后的投影。yyPWQW作业评讲：完成带缺口三棱柱的H、W投影yy作业评讲：

求带缺口的四棱台的H投影§7-3平面立体的贯穿点直线与立体外表的交点称为贯穿点。即贯穿点既是属于直线的点，又是属于立体外表的点，因此，求贯穿点的问题，就是求线与面交点的问题。求贯穿点的方法：包含直线作一个辅助截平面，求此截平面与立体的截交线，截交线与直线的交点即为贯穿点。例题求直线KL与三棱锥的贯穿点l′k′kl求贯穿点的方法﹕PKLMN

包含直线作辅助平面,求得该辅助平面与立体的截交线，而贯穿点是直线与截交线的交点。KLMN作图过程：PVkl注意：

贯穿点之间没有线。m′1′12′23′3mnl′k′(n′)

①包含直线作辅助平面②求辅助平面与立体的截交线③求上述截交线与被包含直线的交点即贯穿点。§7-4平面立体与平面立体的相贯

相交的两立体常称为相贯体,相贯体外表的交线称为相贯线相贯线的性质:相贯线为两立体外表的共有线,相贯线上的每个点都是两立体的共有点由于立体外表有一定的范围,所以相贯线一般都是闭合线.只有当两立体具有重叠外表时,相贯线才不闭合.对于两个立体都是平面立体来说,其相贯线一般都是闭合的空间折线.其每一段线段都是两平面立体有关棱面的交线,每一个折点都是一平面体的棱线对另一平面体的贯穿点求两平面立体相贯线的步骤分析形体：认识两相贯体的形体特征，考察两立体的相对位置。判断是“全贯〞〔两组相贯线〕还是“互贯〞〔一组相贯线〕。求相贯点：由于平面立体相贯线的性质特殊，实际上就是求每一条棱线与另一立体的相贯点。连接相贯点：属于同一立体的同一棱面而同时属于另一立体也是同一棱面的两点才能相连。判别可见性：位于两立体均为可见外表上的相贯线才是可见的。完成图形。例题：求三棱锥与三棱柱的相贯线d′e′f′dfea′c′b′s′acbsd′e′f′dfea′c′b′s′acbs分析形体，可以看出，BS棱线与三棱柱没有相交，而D、F棱线与三棱锥没有相交，因此，可以分析出总共有6个相贯点。利用三棱柱的积聚性，可直接定出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ点的水平投影按照求贯穿点的方法求出六个点在V面的投影。24314′3′5′5(6)6′依次连接相贯点，判别可见性2′1′整理图形，完成图形。作图过程：例题

求三棱锥和四棱柱的相贯线。s′c′b′a′e′d′g′f′asbcefdgdgefe〞s〞c〞a〞b〞g〞e〞d〞f〞d〞f〞g〞求三棱锥和四棱柱的相贯线。s′c′b′a′e′d′g′f′asbcefdgdgefe〞s〞c〞a〞b〞g〞e〞d〞f〞d〞f〞g〞PVQV1、分析(形体分析、棱线的投影分析、贯穿点的数量分析)2、求相贯点3、判别可见性画出相贯线4、整理各棱线s′c′b′a′asbcs〞c〞a〞b〞分析:如将四棱柱抽出，成为三棱锥被贯一四棱柱孔，很显然，相贯点位置没变，即相贯线没变，只是在完成图形时注意保存的线及线的虚实。例题两平面立体相贯，完成相贯线的投影13'2'4'5'6'1'23456解题步骤1分析相贯线的正面投影，水平投影未知；相贯线的投影前后、左右对称2求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ；3顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4整理轮廓线。例题两平面立体相贯，完成相贯线的投影解题步骤1分析相贯线的水平投影，正面投影未知；相贯线的投影前后、左右对称2求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等；3顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4整理轮廓线。3'2'1'123作业评讲：

求平面ABC与四棱柱的截交线abcdgbfa′b′c′d′e′(g)′f′作业评讲1234,51′2′3′4′5′作业评讲§7－5同坡屋面的交线一、屋面的形式二、坡屋面的种类三、同坡屋面的定义四、同坡屋面投影作图的原理五、例题一、屋面的形式平屋顶坡屋顶折板壳体悬索二、坡屋面的种类歇山十字脊四坡屋面庑殿两坡屋面三、什么是同坡屋面平脊斜脊屋檐所谓的同坡屋面，是指各屋面与水平面的倾角相等〔α角相等〕，檐线又属于同一水平面的情况加以研究。从立体角度看，是截头三棱柱相贯。斜沟四、同坡屋面投影作图原理同坡屋面交线的水平投影作图原理水平倾角相等的两斜屋面，其交线的水平投影为它们的等高檐线水平投影的角平分线。因此，如屋面两檐线成直角相交，那么它们的交线在平面图上与檐线成45°。如两檐线平行，那么含此两檐线的两屋面交线在平面图上为两檐线的中线。三面共点，由于三平面的三条交线必交于一点，因此在屋面上如有两条交线交于一点，那么通过该点必有第三条交线。当相邻檐线都成直角相交时，那么在平面图上汇交于一点的三条交线中，两条为45°线，另一条为两平行檐线的中线。作屋面交线的水平投影图时，利用先碰先交，依次封闭斜屋面的作图方法是很重要的。否那么难以防止水平天沟的出现。同坡屋面V和W面投影作图原理凡屋檐线垂直于V面或W面，那么含此檐线的屋面是正垂面或侧垂面。它们的积聚投影与水平线的夹角反映屋面的水平倾角α。还要注意每一坡屋面的各投影成类似形。ABⅠCⅡⅢⅣ45°求证：同坡屋面的两斜屋面的交线的H面投影为两檐线投影的角平分线证明：过Ⅰ点作屋檐线AB的垂线ⅠⅡ过Ⅰ点作屋檐线BC的垂线ⅠⅢ过Ⅰ点作ABC平面的垂线ⅠⅣ交