2.5.1-平面几何中的向量方法(使用)

2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法●复习3．a＝(5,10)，b＝(－3，－4)，c＝(2,3)，且c＝la＋kb，那么l＝________，k＝________.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法那么、平行四边形法那么，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：__________________________．a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：__________________________．(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式__________________________.(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)思考1如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？ABCD思考2:在平行四边形ABCD中，设向量那么向量等于什么？向量等于什么？ABCDABCD例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图2.5-1，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系吗？ABCD图2.5-1平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.〔1〕建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；〔2〕通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；〔3〕把运算结果“翻译〞成几何元素.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲〞：总结几何问题向量化

向量运算关系化向量关系几何化变式2、例2.如图2.5-2，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABDEFRTC猜测：AR=RT=TC图2.5-2由于与共线，故设因为又因为共线，所以设因为所以ABDEFRTC图2.5-2利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量根本定理，将问题转化为求m、n的值，是处理线段长度关系的一种常用手段.总结变式3、例3.假设正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求ABCO解：以O为坐标原点，以OA、OC所在的直线为坐标轴建立如下图的直角坐标系，分析：建立坐标系，利用向量的坐标运算求夹角.探究二〔角度问题〕EDABCOED建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路明确，过程简洁.总结如右图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP、EF，求证：DP⊥EF.A1.用向量方