幂函数讲义 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

.3幂函数教学目标1.了解幂函数的概念，会求幂丽数的解析式.2.结合幂函数y=x，y=x2，y=x3，教材原句要点一幂函数的概念一般地，函数①y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是要点二五个幂函数的图象与性质在同一坐标系中画出函数y=x，y=x2，y=x3，y=x我们得到：（1）函数y=x，y=x2，y=x3，（2）函数y=x，y=x2，y=x3，y=x−1是②（3）在区间(0,+∞)上，函数y=x，y=x2，y=x3，y=x12（4）在第一象限内，函数y=x−1的图象向上与⑥y轴无限接近，向右⑦x自主思考1.函数y=2x，答案：提示函数y=2x，2.已知x≠0，则函数y=1x2答案：提示函数y=1x23.当0<x<1时，判断f(x)=x1.1，g(x)=x答案：提示ℎ(x)>g(x)>f(x).名师点睛1.幂函数的特征（1）xα（2）xα的底数x（3）xα的指数α只有同时满足这三个条件，才是幂函数．形如y=(2x)α，y=2x5（1）所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点（1，1）.（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间(0,+∞)上单调递增；如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0,+∞)上单调递减.（3）在(1,+∞)上，随着指数的逐渐增大，函数图象越来越靠近y轴．互动探究·关键能力探究点一幂函数的概念精讲精练例已知函数f(x)=(m2−m−1)x−5 答案：①若f(x)是幂函数，则m2−m−1=1，即解得m=2或m=−1.②若f(x)是正比例函数，则−5 m解得m=−4此时m2−m−1≠0，故③若f(x)是反比例函数，则−5 m解得m=−2此时m2−m−1≠0，故④若f(x)是二次函数，则−5 m−3=2，解得m=−1.此时故m=−1.解题感悟将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区分它们之间的不同点：①正比例函数y=kx(k≠0)；②反比例函数y=kx(k≠0)；③二次函数y=a迁移应用1.有以下函数：①y=x3；②y=4x2；③y=xA.1B.2C.3D.4答案：B解析：幂函数有①⑤两个.2.若f(x)=(m2−4 答案：5或-1解析：若f(x)是幂函数，则m2−4 m−4=1,即m2探究点二幂函数的图象及应用例若四个幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则A.d＞c＞b＞aB.a＞b＞c＞dC.d＞c＞a＞bD.a＞b＞d＞c答案：B解析：依据图象的高低判断幂指数的大小，在（0，1）上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴；在(1,+∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴.故选B.解题感悟1.在第一象限，幂函数的单调性由α的正负决定.当α＞0时，函数单调递增；当α＜0时，函数单调递减.2.曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸;0＜α＜1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸.迁移应用1.已知点(3,3)与点(−2,−12)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，当x分别为何值时，有f(x)>g(x)答案：设f(x)=xα，因为(3)α所以α=2，β=−1，所以f(x)=x2，由图象知，当x∈(−∞,0)∪(1,+∞)时，f(x)＞g(x)；当x=1时，f(x)=g(x)；当x∈(0,1)时，f(x)＜g(x).探究点三幂函数性质的应用例比较下列各题中两个值的大小：（1）(−23)（2）(a+1)3与（3）1.212，0.9−答案：（1）函数y=x−1在∵−2∴(−2（2）函数y=x3在∵a+1＞a，∴(a+1)（3）0.9−12∵1.2＞10且y=x12∴1.2即1.21解题感悟利用幂函数的性质比较大小的方法1.直接法：当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较两个数的大小；2.转化法：当幂的指数不相同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用单调性比较两个数的大小.迁移应用1.比较下列各组中两个值的大小：（1）(23)（2）−3.143与（3）245，33答案：（1）∵y=x0.5在[0,+∞)上是增函数，且∴(2（2）∵y=x3是R上的增函数，且3.14<π∴−3.14（3）245=∵y=x15∴2评价检测·素养提升课堂检测1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点（4，2），则A.2B.2C.22D.答案：B解析：因为幂函数f(x)=xα的图象经过点（4，2），所以f(4)=4α=2，解得α=2.设M=(x2+1)3，N=8A.M＞NB.M≥NC.M＜ND.M≤N答案：B解析：易知函数y=x3是R上的增函数，且x2+1≥2x，所以3.已知y=(2a+b)xa+b+(a−2b)是幂函数，则a=答案：25;4.比较下列各组数的大小．（1）−8−1和（2）(15)（3）(−0.31)65答案：（1）函数f(x)=x−1在(0,+∞)上是减函数，∵8<9，∴8（2）函数y=x3在R上是增函数，且12（3）∵y=x65为R上的偶函数，∴(−0.31)65=0.3165.又函数素养演练数学抽象——幂函数的综合应用1.已知幂函数y=f(x)=x−2 m①f(x)是区间(0,+∞)上的增函数；②对任意的x∈R，都有f(−x)+f(x)=0求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0,3]时，f(x)的值域.答案：因为m∈{m|−2＜m＜2,m∈Z}，所以m=−1,0,1.因为对任意的x∈R，都有f(−x)+f(x)=0，即f(−x)=−f(x)当m=−1时，f(x)=x当m=1时，f(x)=x当m=0时，f(x)=x3，条件①②都满足，且在区间[0，3]上是增函数.f(0)=0，f(3)=33=27素养探究：解决幂函数的综合问题时应注意：（1）充分利用幂函数的图象、性质，如图象过定点、单调性、奇偶性等；（2）注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.通过解题培养学生数学抽象的核心素养.迁移应用1.已知幂函数f(x)=(a2−a+1)x9+a答案：由幂函数的定义可