11.4.2正弦函数、余弦函数的性质

正弦函数、余弦函数的性质定义域和值域正弦函数定义域：R值域：[-1，1]余弦函数定义域：R值域：[-1，1]练习判断以下等式是否成立？×√一、周期性：〔1〕图象特征：图象从Ｘ轴看等距离重复出现；〔2〕数值特征：当自变量x每增加的整数倍时，函数值重复出现。〔3〕定义：假设存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，那么称函数f(x)为周期函数；非零常数T叫做这个函数的周期．〔4〕最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小的正数为函数的最小正周期。如正弦函数的和余弦函数的的最小正周期为3、周期函数不一定存在最小正周期。例如f(x)=c2、非唯一性——周期函数的周期不止一个，例如，都是正弦函数的周期。注意点：1、存在性——要求对于定义域中的每一个值x,均有f(x+T)=f(x)。例1求以下三角函数的周期：

解：〔1〕∵∴由周期函数的定义知道，原函数的周期为2〔2〕∵

∴由周期函数的定义知道，原函数的周期为〔3〕∵

∴由周期函数的定义知道，原函数的周期为4正弦函数的图象探究余弦函数的图象问题：它们的图象有何对称性？

它们的形状相同，且都夹在两条平行直线y=1与y=-1之间。正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数由诱导公式正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称它们的位置不同，正弦曲线交y轴于原点，余弦曲线交y轴于点〔0，1〕.例２．判断以下函数的奇偶性非奇函数非偶函数奇函数非奇函数非偶函数1、__________，那么f〔x〕在这个区间上是增函数.正弦余弦函数的单调性函数假设在指定区间任取，且，都有：函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。观察正余弦函数的图象，探究其单调性2、__________，那么f〔x〕在这个区间上是减函数.增函数：上升减函数：下降

正弦函数的单调性

y=sinx(xR)xyo--1234-2-31

x

sinx

…0……

…-1010-1探究：正弦函数的单调性当在区间……上时，曲线逐渐上升，sinα的值由增大到。当在区间上时，曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。探究：正弦函数的单调性正弦函数的增区间为：其值从－1增大到1；正弦函数的减区间为：其值从1减小到－1。探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：当时，有最大值最小值：当时，有最小值

余弦函数的单调性

y=cosx(xR)

xcosx

-

……0…

…

-1010-1yxo--1234-2-31

探究：余弦函数的单调性当在区间上时，曲线逐渐上升，cosα的值由增大到。曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。当在区间上时，探究：余弦函数的单调性由余弦函数的周期性知：其值从1减小到－1。减区间为：其值从－1增大到1；增区间为：探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：当时，有最大值最小值：当时，有最小值例以下函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？使函数取得最大值的x集合,就是使函数取得最大值的x的集合解：使函数取得最小值的x集合,就是使函数取得最小值的x的集合函数的最大值是1+1=2，最小值是-1+1=0【例2】求以下函数的最大值，并求出最大值时x的集合：(1)y=cos,xR；(2)y=2-sin2x,xR解：(1)当cos=1,即x=6k

(k

Z)时，ymzx=1∴函数的最大值为1,取最大值时x的集合为{x|x=6k

,k

Z}．(2)当sin2x=-1时,即

x=k

-(k

Z)时,ymax=3(k

Z)}

∴函数的最大值为3,取最大值时x的集合为{x|x=k

-

例3不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：(1)sin()–sin()(2)cos()-cos()

解：

又y=sinx在上是增函数

sin()<sin()即：sin()–sin()>0cos()=cos=cos

cos()=cos=cos

解：

cos<cos即：cos–cos<0又y=cosx在上是减函数从而cos()-cos()

<0例2、求函数解:令由函数正弦函数的对称性

xyo--1234-2-31

余弦函数的对称性yxo--1234-2-31

例题求函数的对称轴和对称中心解〔1〕令那么的对称轴为解得：对称轴为的对称中心为对称中心为练习求函数的对称轴和对称中心练习1、为函数的一条对称轴的是〔〕C2、求函数的对称轴和对称中心。练习f(x)=sinxf(x)=cosx图象RR[1,1][1,1]时ymax=1时ymin=

1时ymax=1时ymin=

1xyo--1234-21

定义域值域最值f(x)=0xyo--1234-21

f(x)=sinxf(x)=cosx图象周期性奇偶性单调性

2

2

奇函数偶函数单调增区间:单调减区间:单调增区间:单调减区间:xyo--1234-21

xyo--1234-21

函数

性质y=sinx(k∈z)y=cosx(k∈z)定义域值域最值及相应的x的集合周期性奇偶性单调性对称中心对称轴RR[-1,1][-1,1]x=2kπ时ymax=1x=2kπ+π时ymin=-1周期为T=2π周期为T=2π奇函数

偶函数在x∈[2kπ-π，2kπ]上都是增函数,在x∈[2kπ，2kπ+π]上都是减函数。(kπ,0)x

=kπ