2023年高考数学文一轮复习教案第2章2.6指数与指数函数

§2.6指数与指数函数【考试要求INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【知识梳理INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．根式(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝a.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分数指数幂正数的正分数指数幂，＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂，＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【常用结论】1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【思考辨析INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)eq\r(4,－44)＝－4.(×)(2)2a·2b＝2ab.(×)(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(√)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(×)INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【教材题改编INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．化简的结果为()A．5 B.eq\r(5)C．－eq\r(5) D．－5答案B解析原式＝＝eq\r(5).2．函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．答案(1,3)3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．答案c<b<a解析∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x是R上的减函数，∴>>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0，即a>b>1，又c＝<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))0＝1，∴c<b<a.题型一指数幂的运算例1(1)(2022·沧州联考)(a>0，b>0)＝________.答案eq\f(8,5)解析原式＝＝eq\f(8,5).(2)若＋＝3(x>0)，则＝________.答案eq\f(1,3)解析由＋＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47，∴x2＋x－2－2＝45.＝(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.∴＝eq\f(1,3).INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】(2022·杭州模拟)化简(a>0，b>0)的结果是()A.eq\f(b,a)B.eq\f(a,b)C.eq\f(a2,b)D.eq\f(b2,a)答案B解析＝ab－1＝eq\f(a,b).思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1(1)已知a>0，则化为()A． B．C． D．答案B解析原式＝(2)计算：－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))0＋eq\r(4,3－π4)＋＝________.答案π＋8解析原式＝－1＋|3－π|＋＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.题型二指数函数的图象及应用例2(1)函数y＝eq\f(x,|x|)ax(0<a<1)的图象的大致形状是()答案D解析因为y＝eq\f(xax,|x|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x>0，,－ax，x<0，))且0<a<1，所以根据指数函数的图象和性质，当x∈(0，＋∞)时函数是减函数；当x∈(－∞，0)时函数是增函数，所以函数在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故选D.(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴b的取值范围是(0,2)．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】在同一直角坐标系中，指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x，二次函数y＝ax2－bx的图象可能是()答案B解析指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x的图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数y＝ax2－bx＝(ax－b)x，有零点eq\f(b,a)，0.A，B选项中，指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x在R上单调递增，故eq\f(b,a)>1，故A错误，B正确．C，D选项中，指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x在R上单调递减，故0<eq\f(b,a)<1，故C，D错误．思维升华(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．跟踪训练2(1)(2022·陕西汉台中学月考)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()答案A解析由图象可知，b<－1,0<a<1，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，g(0)＝1＋b<0，所以选项A符合．(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0答案D解析由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.又f(0)＝a－b<a0，所以－b>0，即b<0.题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例3(1)(2022·永州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．c>b>aC．b>c>a D．a>c>b答案B解析∵函数y＝0.3x在R上是减函数，∴0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1，又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3<0.7，∴0<0.30.3<0.70.3，∴0<a<b<1，而函数y＝1.2x是R上的增函数，∴c＝1.20.3>1.20＝1，∴c>b>a.(2)(2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则()A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0答案A解析设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增．原式等价于2x－3－x<2y－3－y，即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确．因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确．命题点2解简单的指数方程或不等式例4(1)(2022·长岭模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是()A．[2,4] B．(－∞，0)C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]答案D解析∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.(2)当0<x<eq\f(1,2)时，方程ax＝eq\f(1,x)(a>0且a≠1)有解，则实数a的取值范围是______．答案(4，＋∞)解析依题意，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，y＝ax与y＝eq\f(1,x)有交点，作出y＝eq\f(1,x)的图象，如图，所以解得a>4.命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．答案(－∞，4]解析令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上单调递减．而y＝2t是增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．下列各式比较大小不正确的是()A．1.72.5>1.73 B.C．1.70.3>0.93.1 D.答案A解析∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A不正确；，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x为减函数，∴，故B正确；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)，∴1.70.3>0.93.1，故C正确；∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x为减函数，∴，又y＝在(0，＋∞)上单调递增，∴，∴，故D正确．2．(2022·泸州模拟)已知函数f(x)＝ex－eq\f(1,ex)，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是______．答案[－2,1]解析因为f(x)＝ex－eq\f(1,ex)，定义域为R，f(－x)＝e－x－eq\f(1,e－x)＝eq\f(1,ex)－ex＝－f(x)，所以f(x)＝ex－eq\f(1,ex)为奇函数．又因为f(x)＝ex－eq\f(1,ex)在R上为增函数，所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2)≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)，即a－2≤－a2，a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1.思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3(1)设m，n∈R，则“m<n”是“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m－n>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m－n>1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m－n>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0，∴m－n<0，∴m<n.故“m<n”是“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m－n>1”的充要条件．(2)已知函数f(x)＝，若f(x)有最大值3，则a的值为________．答案1解析令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))g(x)，∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(3a－4,a)＝－1，))解得a＝1.课时精练1．(2022·佛山模拟)已知a＝，b＝，c＝，则()A．c<b<a B．a<b<cC．b<a<c D．c<a<b答案A解析因为a＝＝，b＝，所以a＝>＝b，因为b＝＝＝，c＝＝＝，则b>c.综上所述，a>b>c.2．若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则()A．a>1，b>1 B．a>1,0<b<1C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1答案D解析根据图象，函数f(x)＝ax－b是单调递减的，所以指数函数的底数a∈(0,1)，根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0,1)，解得b∈(0,1)，即a∈(0,1)，b∈(0,1)．3．下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()A．y＝sinx B．y＝x3C．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x D．y＝log2x答案B解析y＝2x－2－x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数，y＝sinx不是单调递增函数，不符合题意；y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是非奇非偶函数，不符合题意；y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y＝x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数，符合题意．4．(2022·福建三明一中检测)函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值是()A.eq\f(1,2)或eq\r(2) B.eq\f(1,2)或2C.eq\f(1,2) D．2答案B解析当a>1时，函数单调递增，f(x)max＝2f(x)min，∴f(2)＝2f(1)，∴a2＝2a，∴a＝2；当0<a<1时，函数单调递减，f(x)max＝2f(x)min，∴f(1)＝2f(2)，∴a＝2a2，∴a＝eq\f(1,2)，综上所述，a＝2或a＝eq\f(1,2).5．函数y＝ax－eq\f(1,a)(a>0，且a≠1)的图象可能是()答案D解析当a>1时，y＝ax－eq\f(1,a)为增函数，且在y轴上的截距为0<1－eq\f(1,a)<1，此时四个选项均不对；当0<a<1时，函数y＝ax－eq\f(1,a)是减函数，且其图象可视为是由函数y＝ax的图象向下平移eq\f(1,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>1))个单位长度得到，选项D适合．6．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天答案B解析由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，得r＝eq\f(R0－1,T)＝eq\f(3.28－1,6)＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)＝2I(t1)，即＝，所以＝2，即0.38(t2－t1)＝ln2，所以t2－t1＝eq\f(ln2,0.38)≈eq\f(0.69,0.38)≈1.8.7．已知a>0，b>0，则＝________.答案1解析＝＝＝＝1.8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤4))的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是________．答案[－3,0)解析当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x<0时，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，－1))，所以eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，－1))[－8,1]，即－8≤－eq\f(1,2a)<－1，即－3≤a<0.所以实数a的取值范围是[－3,0)．9．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．解(1)因为f(x)的图象过点A(1,6)，B(3,24)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b·a＝6，,b·a3＝24.))所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－m≥0恒成立，即m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在(－∞，1]上恒成立．又因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x有最小值eq\f(5,6)，所以m≤eq\f(5,6)，即m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,6))).10．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是奇函数．(1)求实数k的值；(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围．解(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，经检验k＝2符合题意，∴k＝2.(2)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，∵f(1)<0，∴a－eq\f(1,a)<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1，而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，不等式f(m2－2)＋f(m)>0可化为f(m2－2)>f(－m)，∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，解得－2<m<1，∴实数m的取值范围是(－2,1)．11．已知0<a<b<1，则()A．>(1－a)bB．(1－a)b>C．(1＋a)a>(1＋b)bD．(1－a)a>(1－b)b答案D解析因为0<a<1，所以0<1－a<1，所以y＝(1－a)x是减函数，又0<b<1，所以eq\f(1,b)>b，b>eq\f(b,2)，所以<(1－a)b，(1－a)b<，所以A，B均错误；又1<1＋a<1＋b，所以(1＋a)a<(1＋b)a<(1＋b)b，所以C错误；因为0<1－b<1－a<1，所以(1－a)a>(1－a)b>(1－b)b，所以D正确．12．(2022·南京模拟)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(1，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．(1，＋∞)答案B解析①当a>1时，由图象得0<2a<1，∴0<a<eq\f(1,2)，∵a>1，∴此种情况不存在；②当0<a<1时，由图象得0<2a<1，∴0<a<eq\f(1,2)，∵0<a<1，∴0<a<eq\f(1,2).13．(2022·西安模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)－eq\f(1,2)，则函数y＝[f(x)]的值域为()A．{0} B．{－1,0}C．{－2，－1,0} D．{－1,0,1}答案C解析f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)－eq\f(1,2)＝eq\f(ex＋1－2,ex＋1)－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,ex＋1)＋eq\f(1,2)，∵ex>0，∴ex＋1>1，∴0<eq\f(2,ex＋1)<2，∴－2<－eq\f(2,ex＋1)<0，∴f(x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))，∴[f(x)]为－2或－1或0.14．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．答案3或eq\f(1,3)解析令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，又函数y＝(t＋1)2－2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当0<a<1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈eq\b\lc\