2023年高考数学文一轮复习教案第1章1.1集合

第一章集合、常用逻辑用语§1.1集合【考试要求】1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．【知识梳理INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A}∁UA【常用结论INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【思考辨析INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(×)(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(√)INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【教材题改编INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】1．若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，则下列结论正确的是()A．2eq\r(2)∈A B．8⊆AC．{4}∈A D．{0}⊆A答案D2．已知集合M＝{eq\r(a)＋1，－2}，N＝{b,2}，若M＝N，则a＋b＝________.答案－1解析∵M＝N，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋1＝2，,b＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))∴a＋b＝－1.3．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}，则A∩B＝____________，A∪(∁UB)＝____________.答案{x|2≤x≤3}{x|－2<x≤3}解析∵全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}＝{x|x≤－2或x≥2}，∴∁UB＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{x|2≤x≤3}，A∪(∁UB)＝{x|－2<x≤3}.题型题型一集合的含义与表示例1(1)(2020·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()A．2B．3C．4D．6答案C解析A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，y≥x}＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．(2)若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.答案0或1解析①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，②当2a－1＝－3时，a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}舍去，③当a2－4＝－3时，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，则当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，综上，a＝0或1.INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】若集合A＝{x|kx2＋x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数k的取值集合是________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))解析依题意知，方程kx2＋x＋1＝0有且仅有一个实数根，∴k＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝1－4k＝0，))∴k＝0或k＝eq\f(1,4)，∴k的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．跟踪训练1(1)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,x－2)∈Z))))，则集合A中的元素个数为()A．3 B．4C．5 D．6答案C解析∵eq\f(4,x－2)∈Z，∴x－2的取值有－4，－2，－1,1,2,4，∴x的值分别为－2,0,1,3,4,6，又x∈N，故x的值为0,1,3,4,6.故集合A中有5个元素．(2)已知a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则a2023＋b2023＝________.答案0解析∵{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))且a≠0，∴a＋b＝0，∴a＝－b，∴{1,0，－b}＝{0，－1，b}，∴b＝1，a＝－1，∴a2023＋b2023＝0.题型二集合间的基本关系例2(1)设集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是()A．M＝P B．P∈MC．MP D．PM答案D解析因为P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，因此PM.(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析∵B⊆A，①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2；②当B≠∅时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1≤4，))解得－1≤m≤2.综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．延伸探究在本例(2)中，若把B⊆A改为BA，则实数m的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析①当B＝∅时，2m－1>m＋1，∴m>2；②当B≠∅时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1<4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1>－3，,m＋1≤4.))解得－1≤m≤2.综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】已知M，N均为R的子集，若N∪(∁RM)＝N，则()A．M⊆N B．N⊆MC．M⊆∁RN D．∁RN⊆M答案D解析由题意知，∁RM⊆N，其Venn图如图所示，∴只有∁RN⊆M正确．思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练2(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x<0}，则满足AC⊆B的集合C的个数为()A．4 B．6C．7 D．8答案C解析∵A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且AC⊆B，∴集合C的所有可能为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．(2)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为________．答案0，±1解析∵M＝{－1,1}，且M∩N＝N，∴N⊆M.若N＝∅，则a＝0；若N≠∅，则N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，∴eq\f(1,a)＝1或eq\f(1,a)＝－1，∴a＝±1综上有a＝±1或a＝0.题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3(1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，集合N＝{3,4}，则∁U(M∪N)等于()A．{5} B．{1,2}C．{3,4} D．{1,2,3,4}答案A解析方法一(先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．方法二(先转化再求解)因为∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)，∁UM＝{3,4,5}，∁UN＝{1,2,5}，所以∁U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．(2)集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|1<x<5}，则集合(∁RA)∩B＝________.答案{x|1<x≤4}解析A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x<－1或x>4}，∴∁RA＝{x|－1≤x≤4}，∴(∁RA)∩B＝{x|1<x≤4}．命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(2022·厦门模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0]B．(0,1)∪(1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)答案D解析由题意得，B＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，∵A∩B有2个子集，∴A∩B中的元素个数为1；∵1∈(A∩B)，∴a∉(A∩B)，即a∉B，∴a≤0或a≥2，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－3)∪(4，＋∞)解析A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|－2≤x≤3}，∵A∩B＝∅，∴a－1>3或a＋1<－2，即a>4或a<－3.INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\全书完整的Word版文档\\右括.TIF"INET】(2022·铜陵模拟)已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∩(∁RB)≠∅，则实数a的取值范围是()A．1≤a≤2 B．1<a<2C．a≤1或a≥2 D．a<1或a>2答案D解析A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，所以∁RB＝{x|a－1<x<a＋1}；又A∩(∁RB)≠∅，所以a－1<0或a＋1>3，解得a<1或a>2，所以实数a的取值范围是a<1或a>2.思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．跟踪训练3(1)(2021·全国甲卷)设集合M＝{x|0<x<4}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤5))))，则M∩N等于()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(1,3))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<4))))C．{x|4≤x<5} D．{x|0<x≤5}答案B解析因为M＝{x|0<x<4}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤5))))，所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<4)))).(2)(2022·南通模拟)设集合A＝{1，a＋6，a2}，B＝{2a＋1，a＋b}，若A∩B＝{4}，则a＝________，b＝________.答案22解析由题意知，4∈A，所以a＋6＝4或a2＝4，当a＋6＝4时，则a＝－2，得A＝{1,4,4}，故应舍去；当a2＝4时，则a＝2或a＝－2(舍去)，当a＝2时，A＝{1,4,8}，B＝{5,2＋b}，又4∈B，所以2＋b＝4，得b＝2.所以a＝2，b＝2.题型四集合的新定义问题例5(1)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为()A．15 B．16C．20 D．21答案D解析由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.(2)若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________．答案27解析不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，当A1＝∅时，A2＝{1,2,3}，当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种，当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种，当A1＝{1,2,3}时，A2可为A1的子集，共8种，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(种)不同的分拆．INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版（文理）老高考\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一轮\\数学人教A版（文理）老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版文老教材\\右括.TIF"INET】非空数集A如果满足：①0∉A；②若∀x∈A，有eq\f(1,x)∈A，则称A是“互倒集”．给出以下数集：①{x∈R|x2＋ax＋1＝0}；②{x|x2－6x＋1≤0}；③eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,x)，x∈[1，4]))))，其中是“互倒集”的序号是________．答案②③解析①中，{x∈R|x2＋ax＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a2－4，故－2<a<2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意；②中，{x|x2－6x＋1≤0}，即{x|3－2eq\r(2)≤x≤3＋2eq\r(2)}，显然0∉A，又eq\f(1,3＋2\r(2))≤eq\f(1,x)≤eq\f(1,3－2\r(2))，即3－2eq\r(2)≤eq\f(1,x)≤3＋2eq\r(2)，故eq\f(1,x)也在集合中，符合题意；③中，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,x)，x∈[1，4]))))，易得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤y≤2))))，0∉A，又eq\f(1,2)≤eq\f(1,y)≤2，故eq\f(1,y)也在集合A中，符合题意．思维升华解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．跟踪训练4对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝____________.答案{x|－3≤x<0或x>3}解析∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}．∴A*B＝{x|－3≤x<0或x>3}．课时精练1．(2022·天津模拟)设全集U＝{x∈N|x<6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，则∁U(A∪B)等于()A．{5}B．{0,5}C．{0,3,4,5}D．{－5，－4，－3，－2，－1,0,5}答案B解析∵集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，∴A∪B＝{1,2,3,4}，∵U＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{0,5}．2．已知集合U＝R，集合A＝{x|eq\r(x＋3)>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩(∁UB)等于()A．R B．(1,2]C．(1,2) D．[2，＋∞)答案C解析A＝{x|eq\r(x＋3)>2}＝(1，＋∞)，B＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，∴∁UB＝(－∞，2)，∴A∩(∁UB)＝(1,2)．3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，则集合N中的元素个数为()A．2B．3C．8D．9答案B解析由题意知，集合N＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N的元素个数为3.4．(2022·青岛模拟)已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1＋a2＋a3等于()A．1B．2C．3D．6答案C解析集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集为{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，则所有非空真子集的元素之和为a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a1＋a3＋a2＋a3＝3(a1＋a2＋a3)＝9，所以a1＋a2＋a3＝3.5．已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝1}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，则下列说法正确的是()①P∪Q＝R；②P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}；③P∩Q＝{(x，y)|x＝0或1，y＝0或1}；④P∩Q的真子集有3个．A．①②④ B．②③④C．②④ D．③④答案C解析联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))∴P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}，故②正确，③错误；又P，Q为点集，∴①错误；又P∩Q有两个元素，∴P∩Q有3个真子集，∴④正确．6．已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是()A．a<－2 B．a≤－2C．a>－4 D．a≤－4答案D解析集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2)))))，由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图．可知－eq\f(a,2)≥2，即a≤－4.7．(2022·重庆模拟)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B不可能为()A．{3,6} B．{3,4,5}C．{2,3,6} D．{3,5,6}答案C解析由log2x<3得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，因为∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B；对于A选项，若B＝{3,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，A可能；对于B选项，若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B可能；对于C选项，若B＝{2,3,6}，则A∩B＝{2,3}，所以∁U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，故C不可能；对于D选项，若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D可能．8．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的个数是()①A∩B＝∅；②A∩B＝B；③A∪B＝U；④(∁UB)∪A＝A.A．1B．2C．3D．4答案B解析令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁UA)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故①②均不正确；由(∁UA)∪B＝B，知(∁UA)⊆B，∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由(∁UA)⊆B，知(∁UB)⊆A，∴(∁UB)∪A＝A，故③④均正确．9．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.答案－3解析由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}，即0,3为方程x2＋mx＝0的两个根，所以m＝－3.10．(2022·宁夏模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝