1.3.2“三角”与二项式系数的性质

1.3.2“杨辉三角〞与二项式系数的性质一般地，对于nN*有二项式定理:

二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？

下面我们来研究二项式系数有些什么性质.我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点.?详解九章算法?中记载的表杨辉三角1．了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题．(难点)2．了解二项式系数的性质并能简单应用．(重点)3．掌握“赋值法〞并会灵活应用.探究点1．“杨辉三角〞的来历及规律展开式中的二项式系数，如下表所示：11

121133114641151010511615201561点击图片可以演示“杨辉三角〞课件第5行

1551第0行

1杨辉三角第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

141第6行

161561第n-1行

11第n行11………………………………

1515=5+102020=10+1010=6+41010=4+61066=3+34=1+341．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数；(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上〞两个数的，即＝.想一想：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？提示：不都相同．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．相等和探究点2二项式系数的性质

展开式的二项式系数依次是：

从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：

当时，其图象是右图中的7个孤立点．2．二项式系数的性质〔1〕对称性与首末两端“等距离〞的两个二项式系数相等．

这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：〔2〕增减性与最大值由于：所以相对于的增减情况由决定．由：

可知，当时，

因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；

当n为奇数时，中间两项的二项式系数,相等，且同时取得最大值.二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半局部是逐渐减小的，且中间项取得最大值.〔3〕各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于，上式还可以写成：〔1〕〔2〕〔4〕

一般地，展开式的二项式系数有如下性质：

（3）当时，

当时，2．在(x－y)11的展开式中，求(1)通项Tr＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项；(5)项的系数最小的项；(6)二项式系数的和；(7)各项系数的和．性质的应用：1.的展开式中的所有二项式系数之和为128，那么展开式中二项式系数最大的项是_______．解：(1)(2)二项式系数最大的项为中间两项：

(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故(5)项的系数最小的项为(6)二项式系数的和为(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.【拓展提升】1.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.变式：(x+2y)7展开式中系数最大的项为_______.2.展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0,A1，A2,…,An，且第r+1项最大，应用解出r，即得出系数的最大项.1.二项式系数的三个性质2.数学思想：函数思想

a

单调性；b

图象；c

最值.距离相等

2n－1

2n

3.二项式的系数1．(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，那么n等于()A．11B．10C．9D．8解：因为只有第5项的二项式系数最大，所以所以n＝8.D2．在(a－b)10

(a＞0,b＞0)的二项展开式中，系数最小的项是________．解：在(a－b)10的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式