连续体问题中研究对象选择

32卷第2期2003年2月

PhyscsTeachngnMddleSch

Vol32NoDec 质点是最常见的物理模型之一.若干具有相互作用,并且可视为质点的物体组成的物体系称为质点组.连续体是较为特殊的一种质点组,它是由大量质点组成的质量连续分布的物体系.连续体问题是近年来高考的热点问题.例如02年高考上海卷压轴题是塑料管道中的非导电液体问题;今年(03年上海卷压轴题是关于平板电容器中均匀分布的大量带电烟尘颗粒的问题;今年全国理科综合卷压轴题则是传送带上大量相同质量的小货箱问题.由于学生平时训练的题目涉及的质点数一般较少,因而对于由大量质点组成的连续体问题自然会感到无从下手.其实解决此类问题的关键在于能否正确地选择研究对象,将不熟悉的连续体问题转化为熟悉的“单

的重力的影响取向上为正方向, 2Δm·vfΔm的作用力Δm=dSv0Δtf f Δmf′与Δm受到的铁盒的作用力f是一对作用力与反作用力,所以f f=2dSv0v,所以其所受合外力为零f=Mg2dSv0v=v个质点”问题.实现这一转化主要有以下两种方法一、例1由高压水枪竖直向上喷出的水柱,将一个

v0h=v0

(2

)质量为M的小铁盒开口向下倒顶在空中,如图1所.已知水以恒定速率v0从横截面积为S的水枪中持续喷出,向上运动并冲击铁盒后,以不变的速率竖直返回.求:稳定状态下铁盒距水枪口的高度h.解析铁盒能够稳定在距水枪口h高处,是由于受到水柱的持续冲击力作用.所以此题目应从分析水柱的运动及受力情况入手.显然,水柱是质量连续分布的连续体.但单独分割出来作为研究对象该连图续体问题便转化成了单个质点问题Δt,则其质量为Δm=dSv0Δt,Δm以初速度v0由水枪口喷出,然后做竖直上抛,h高的铁盒处.所以Δm

0 v 2gh0因为Δm的水与铁盒相撞的时间极短,而且冲击力远大于水的重力.所以可忽略相互作用过程中Δm例2(1998年全国高考物理试题)来自质子源的质子(初速度为零),经一加速电压为800kV的直线加速器加速,形成电流强度为1.0mA的细柱形质子流.已知质子电荷e=1.60×1019C.这束质子流每秒打到靶上的质子数为.假定分布在质子源到靶之间的加速电场是均匀的,在质子束中与质子源相距L和4L的两处,各取一段极短的相等长度的质子流,其中的质子数分别为n1和n2,则n1/n2= 解析问题较为简单,设

质子数为n,则由电流的定义知:I=nen=I/e=6.25 图s第二个问题涉及大量质子连续分布组成的质子,.如图2所示,假设题目中在距离质子源L和4L两处,所选取的等长度质子流长均为ΔL(ΔL0),且两位置处单位体积内质子数分别为N1和N2.则所求·n1=N1SΔL=N1 N选取单位时间内通过L和4L两处的质子流为研究对象.I=Q/tI=NeSv,v为质子流在,S为质子流横截面积,L4L两处分别有:I=N1eSv1,I=N2eSv2,两式相比得N1=v2N v再将质子流中的某个质子分割出来作为研究对象.根据动能定理:质子运动到L和4L,分别eEL=mpv12eE(4L)=mpv22其中E为匀强加速电场的场强mp为质子质量由此v2=2v n1=N1=v2 2 N v 小结组成连续体的各质点往往具有相似的受力情况或运动过程.如果我们将其中某一部分,如长为ΔL的微小单元、单位时间内通过的微量、连续体中的单个质点等分割出来作为研究对象,便可以通过研究该部分的“个性”而掌握整个连续体的“共性”,从而达二、例33,A的总容积为7.L,内装药液6.0L后关闭开关K,并用打气筒B每次打入1atm的空气250cm3使药液上方空气压强达 atm,应连续打几次气?(气过程中气体温度不变 图解 气压强增大到4atm需要打气筒连续地向A打入A设需连续打n次气,并将打入的n次气体在打入之前视为一个整体,即认为一次性打入A,根据玻意耳定律:p1V1=p2V2计算得:n=18次.小结,并将其作为研究对象,同样可以达到把连续体问题转化为单个质点问题的目的.中学物理范围内,

复杂的连续体问题,有时则需要灵活交替使用以上两种例4(2003)一传送带装置示意如图4所示,其中传送带经过AB区域时是水平的,经过BC区域时变为圆弧形(圆弧由光滑模板形成,未画出经过CD区域时是倾斜的,AB 图CD都与BC.现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上,放置时初速度为零,经传送带运送到D处,D和A的高度差为h.稳定工作时传送带速度不变,CD段上各箱等距排列,箱的距离为L每个箱子在A处投放后在到达B之前已经相对于传送带静止,且以后也不再滑动(忽略经BC段时的微小滑动).已知在一段相当长的时间T内,共运送小货箱的数目为N.这装置由电动机带动,不计轮轴处的摩擦求电动机的平均输出功率P.解析电动机对外做功,使得传送带上的大量等质量小货箱由A运动到D.在此过程中,开始由于小货箱初速度为零,传送带速度不为零.所以,每个小货箱与传送带刚接触时都会发生相对滑动.相对滑动过程,传送带对小货箱的滑动摩擦力做功.使得电动机消耗的能量一部分转化为热量,另一部分提供给小货箱动能,使小货箱具有了与传送带相同的速度.之后,小货箱匀速运动至C.电动机又对其做功提供给小货箱势能,使其逐渐上升至D处.以地面为参考系(下同),选单个小货箱为研究对象.设传送带的运动速度为v0,在水平段运输的过程中,小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动,设这段路程为s所用时间为t,加速度为a,则对小货箱有s=at2/2,v0=at在这段时间内,s0=v0ts0=体问题,如:传送带上运送的矿砂、质量均匀分布的铁链等等分割法和整体法是确定该类问题研究对象时常用的两种方法.对于较简单的连续体问题,视具体题目恰当选择其中一种方法便可以将问题解决.对于较用f,则A=fs=mv020mv0A0=fs0= 2

Q=mv02 此式说明,小货箱获得的×·32卷第2期2003年2月

PhyscsTeachngnMddleSch

Vol32NoDec(山东省枣庄市第六中学在教学练习指导中我们遇到这样一道题:氦原子的质量为4.002603u,电子的质量me=5.48610u,质子的质量mp=1.007226u,中子的质量mn=008665u求中子和质子结合氦原子核时释放的能.解法 m=2(mp+mn 4.002603u=0.029279E=m·c2,可得E=27.2733885MeV27.27MeV90%得出的结果为27.27MeV,但这个结论是错误的.解法 m=2(mp+mn (m 2me)=0.303762根据爱因斯坦的质能方程E=m·c2E=m·c2=28.30MeV解法二是正确的错误原因一教师在讲“核能”,没有把“质量亏损”的定义讲清,造成学生在理解和应用上出.(试验修订本·修加选修)第三册第74面,在讲质量亏损时是这样叙述的:“物理学家研究过质子、中子和氘核之间的关系,发现氘核虽然是有一个质子和中子组成的,但它的质量却并不等于一个中子和一个质子的质量之和.精确的计算表明:氘核的质量比中子和质子的质量之和要小一些,这种现象叫质量亏损教科书这样对质量亏

损没有明确的定义.完整的定义为:“组成原子核的核子质量与原子核质量之差叫做核的质量亏损,即质量亏损是指原子核的质量亏损,而不是原子的质量亏损.”错误原因之二由于课本上的练习题如第75面练习题(3)(4)都是用原子的质量或原子量来代替原子核的质量来计算质量亏损的,学生在做题过程中不自觉地形成了一种思维定势.认为原子的质量就是原子核的质量,所以计算原子核的质量亏损,都用各自原子的教学练习中的经验之一教师应注意提出和纠正分析吃透讲清教材用原子的质量代替原子核质量来求质量亏损是有前提条件的事实上教材在这个方面已有提醒在课本第5面练习三(3)题后面有这样一段话:“计算中可以用原子的质量代替原子核的质量因为电子的质量可以在相减过程中消去”.可见课本上的这种代替是由于电子的质量可以在相减中消去.课本上的几个练习题都是如此.若在相减过程中电子质量不能消去如本文前面所举题目计算原子核的质量亏损时用原子质量减原子核质量时电子质量在相减过程中不能消去,那么就用原子质量减去相应电子质量而得到原子核质量.教学练习中的经验二由于原子的质量与原子核的质量差别不大,如题目中交代了用原子的质量近似的代替原子核的质量,可以不考虑电子的质量,但必须概再把传送带上的N个小货箱视为一个整体该整体动能、势能