电磁场的基本方程

电磁场的基本方程第一页，共111页。一、电荷与电荷密度Chargeandchargedensity1、体电荷密度体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体。体电荷密度的定义：在电荷空间V内，任取体积元，其中电荷量为§2.0电磁场的源量Sourceof

Electromagneticfield

电荷和电流是产生电磁场的源第一页第二页，共111页。2、面电荷密度面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷。体电荷密度的定义：在面电荷上，任取面积元，其中电荷量为3、线电荷密度线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷。线电荷密度的定义：在线电荷上，任取线元，其中电荷量为第二页第三页，共111页。4、点电荷点电荷：当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点电荷可看作是电量q无限集中于一个几何点上。第三页第四页，共111页。运动的电荷形成电流。电流大小用电流强度I描述。电流强度I的定义：设在时间内通过某曲面S的电量为，则定义通过曲面S的电流为：电流强度的物理意义：单位时间内流过曲面S的电荷量。恒定电流：电流大小恒定不变。即：二、电流与电流密度Electroniccurrent(density)

引入电流密度矢量描述空间电流分布状态。第四页第五页，共111页。1、体电流密度VolumeElectroniccurrentdensity

体电流：电荷在一定体积空间内流动所形成的电流体电流密度定义：设正电荷沿方向流动，则在垂直方向上取一面元，若在时间内穿过面元的电荷量为，则：为空间中电荷体密度，为正电荷流动速度。第五页第六页，共111页。2)2、面电流密度SurfaceElectroniccurrentdensity当电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。面电流密度定义：电流在曲面S上流动，在垂直于电流方向取一线元，若通过线元的电流为，则定义1）的方向为电流方向（即正电荷运动方向）讨论：第六页第七页，共111页。2）若表面上电荷密度为，且电荷沿某方向以速度运动，则可推得此时面电流密度为：注意：体电流与面电流是两个独立概念，并非有体电流就有面电流。3、线电流与电流元电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。电流元：长度为无限小的线电流元。3）穿过任意曲线的电流：证明第七页第八页，共111页。§2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量基本场矢量：电场强度E电通量密度（电位移矢量）D磁通量密度(磁感应强度)B磁场强度H基本定律：库仑定律高斯定理毕奥-萨伐定律安培环路定律静电场：恒定不变的电场，由静止电荷产生。即：恒定电磁、场：恒定电流所产生的电场和磁场。静态电磁场：静电场、恒定电场、恒定磁场第八页第九页，共111页。图2-1两点电荷间的作用力

库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律。一、库仑定律Coulomb’sLaw2.1.1库仑定律和电场强度

Coulomb’sLawandElectronicfieldindensity第九页第十页，共111页。式中,K是比例常数,r是两点电荷间的距离,是从q1指向q2的单位矢量。若q1和q2同号,该力是斥力,异号时为吸力。在国际单位制中,库仑定律表达为式中,q1和q2的单位是库仑(C),r的单位是米(m),ε0是真空的介电常数:第十页第十一页，共111页。说明：2、库仑定律是在无限大的均匀、线性、各向同性介质中总结出的实验定律。1、静止点电荷之间的相互作用力称为静电力。两个点电荷之间静电力的大小与两个电荷的电量成正比、与电荷之间距离的平方成反比，方向在两个电荷的连线上。3、静电力遵从叠加原理，当有多个点电荷存在时，其中任一个点电荷受到的静电力是其他各点电荷对其作用力的矢量叠加4、对于连续分布的电荷系统（如体电荷、面电荷和线电荷），静电力的求解不能简单地使用库仑定律，必须进行矢量积分第十一页第十二页，共111页。5)由库仑定律知,在离点电荷q距离为r处的电场强度为二、电场强度单位正电荷在电场中所受的作用力称为该点的电场强度，以E表示。式中q

为试验电荷的电量，F为电荷q受到的作用力。说明：1）对q取极限是避免引入试验电荷影响原电场；2）电场强度的方向与电场力的方向一致；3）电场强度的大小与试验电荷q的电量无关。4)电场的单位：牛顿/库仑(N/C)定义：第十二页第十三页，共111页。是媒质的介电常数,在真空中ε=ε0。这样,对真空中的点电荷q,除电场强度E外,描述电场的另一个基本量是电通量密度D,又称为电位移矢量。在简单媒质中,电通量密度由下式定义:

一、电通量密度：Electronicflux电通量:电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量二、高斯定理2.1.2高斯定理,电通量密度

Gauss’sLaw,ElectronicfluxGauss’sLaw

第十三页第十四页，共111页。此通量仅取决于点电荷量q,而与所取球面的半径无关。如果在封闭面内的电荷不止一个,则利用叠加原理知,穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量即穿过任一封闭面的电通量,等于此面所包围的自由电荷总电量取积分曲面为半径为r的球面，电通量为：高斯定理：说明：第十四页第十五页，共111页。若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度ρv分布的,则所包围的总电量为上式对不同的V都应成立,因此两边被积函数必定相等,于是有高斯定理的微分形式第十五页第十六页，共111页。三、利用高斯定理求解静电场关键：高斯面的选择。高斯面的选择原则：用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。1）场点位于高斯面上；2）高斯面为闭合面；3）在整个或分段高斯面上，或为恒定值。第十六页第十七页，共111页。求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间中产生E。分析：电场方向沿半径方向：电场大小只与场点距离球心的距离相关。解：在球面上取面元ds，该面元在P点处产生的电场径向分量为：式中：例题一第十七页第十八页，共111页。说明：与位于球心的点电荷Q在空间中产生的电场等效。第十八页第十九页，共111页。已知真空中电荷分布函数为：式中r为球坐标系中的半径求空间各点的电场强度。解：由高斯定理r>a

例第十九页第二十页，共111页。2.1.3毕奥-萨伐定律,磁通量密度TheBiot-SavartLaw,Magneticfluxdensity

运动电荷在磁场中受到的作用力的特点：与电荷量及运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方向有关。电荷沿某一方向运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为零。受力为零的方向为零线方向如果最大作用力为Fm

，则实验发现沿偏离零线方向

角度运动时，受力为Fmsin

磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷（电流）产生力的作用，称为磁场力。磁感应强度矢量:描述空间磁场分布。一、磁感应强度Magneticfluxdensity

第二十页第二十一页，共111页。在磁场空间中，以速度运动的电荷q0所受的作用力为说明：

称为磁感应强度或磁通密度，单位为T（特斯拉）。其方向与电荷受磁场力为零时的运动方向相同。第二十一页第二十二页，共111页。两个载流回路间的作用力

真空中，两电流回路C1,C2，载流分别为I1,I2，则：

r是电流元I´dl′至Idl的距离,是由dl′指向dl的单位矢量,μ0是真空的磁导率:二、毕奥-萨伐定律TheBiot-SavartLaw两个电流回路之间的作用力为：安培力定律:Ampere’sforcelaw第二十二页第二十三页，共111页。电流元在磁场中受到的磁场力为：若由电流元产生，则由安培力定律可知，电流元产生的磁感应强度为：毕奥－萨伐尔定律说明：、、三者满足右手螺旋关系。二、电流元产生的磁场的磁场强度第二十三页第二十四页，共111页。1、体电流三、体电流与面电流产生的磁感应强度2、面电流3、载流为I的无限长线电流在空间中产生磁场第二十四页第二十五页，共111页。例题一求半径为a的电流环在其轴线上产生的磁场。分析：在轴线上，磁场方向沿z向。电流分布呈轴对称。解：建立如图柱面坐标系。在电流环上任取电流元，令其坐标位置矢量为。易知：第二十五页第二十六页，共111页。例2.1参看图2-3,长2l的直导线上流过电流I。求真空中P点的磁通量密度。图2-3载流直导线

解

采用柱坐标,电流Idz′到P点的距离矢量是第二十六页第二十七页，共111页。解

采用柱坐标,电流Idz′到P点的距离矢量是对无限长直导线,l→∞,有第二十七页第二十八页，共111页。在简单媒质中,磁场强度H由下式定义:

在恒定磁场中，磁场强度矢量沿任意闭合路径的环量等于其与回路交链的电流之和，即：称为媒质磁导率。为真空中的磁场强度Magneticfieldintensity安培环路定律Ampere’scircuitallaw安培环路定律(积分形式)2.1.4安培环路定律、磁场强度第二十八页第二十九页，共111页。因为S面是任意取的,所以必有由斯托克斯定理，J为电流密度，是一个矢量，电流密度的方向为正电荷的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。安培环路定律(微分形式)第二十九页第三十页，共111页。在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零:利用斯托克斯定理得由于电场强度的旋度为0，可引入电位函数φ，使物理意义：静态电场是无旋场即保守场在静态电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零——静电场为保守场。（电力线不构成闭合回路）一、电场强度的旋度2.1.5两个补充的基本方程第三十页第三十一页，共111页。二、磁场强度的散度：在恒定磁场中，磁感应强度矢量穿过任意闭合面的磁通量为0，即：散度定理磁通连续性定律（积分形式）孤立磁荷不存在磁力线在空间任意位置是连续的。孤立磁荷不存在

(A)≡0，故B可用一矢量函数的旋度来表示。结论：第三十一页第三十二页，共111页。2.2.1法拉第电磁感应定律

(Faraday’sLawofInduction)

静态场:场大小不随时间发生改变(静电场,恒定电、磁场)

时变场:场的大小随时间发生改变。特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的统一的整体，称为电磁场。特性：电场和磁场相互独立，互不影响。一、电磁感应现象与楞次定律电磁感应现象——实验表明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中会出现感应电流。

楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回路自身的磁通，去反抗引起感应电流的磁通量的改变。§2.2

Time-varyingElectromagneticFields法拉第电磁感应定律和全电流定律第三十二页第三十三页，共111页。法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发生改变时，回路中产生的感应电动势与回路磁通量的时间变化率成正比关系。数学表示：说明：“-”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻止回路磁通量的改变。二、法拉第电磁感应定律当回路以速度v运动时，第三十三页第三十四页，共111页。斯托克斯定理法拉第电磁感应定律微分形式物理意义：1、某点磁感应强度的时间变化率的负值等于该点时变电场强度的旋度。2、感应电场是有旋场，其旋涡源为，即磁场随时间变化的地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。

说明：感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时间变化在回路中“感生”的电动势;第二部分是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势当回路静止时，变化的电场能产生磁场第三十四页第三十五页，共111页。电流连续性方程时间内，V内流出S的电荷量为电荷守恒定律：时间内，V内电荷改变量为由电流强度定义：电流连续性方程的微分形式电流连续性方程积分形式2.2.2位移电流和全电流定律第三十五页第三十六页，共111页。在时变情况下另一方面，由得到了两个相互矛盾的结果。

位移电流在的右端加一修正项则

是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称为位移电流密度

:第三十六页第三十七页，共111页。全电流定律由积分形式：物理意义：该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流。

推广的安培环路定理全电流定律全电流变化的电场能产生磁场第三十七页第三十八页，共111页。对任意封闭面S有

2.2.3全电流连续性原理

第三十八页第三十九页，共111页。

物理意义：穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续性原理。将它应用于只有传导电流的回路中,得知节点处传导电流的代数和为零(流出的电流取正号,流入取负号)。这就是基尔霍夫(G.R.Kirchhoff,德)电流定律:ΣI=0。

第三十九页第四十页，共111页。例：在z=0和z=d位置有两个无限大理想导体板，在极板间存在时变电磁场，其电场强度为求：(1)该时变场相伴的磁场强度；例题第四十页第四十一页，共111页。解：(1)由法拉第电磁感应定律微分形式第四十一页第四十二页，共111页。第四十二页第四十三页，共111页。设平板电容器两端加有时变电压U,试推导通过电容器的电流I与U的关系。

图2-4平板电容器例2.2第四十三页第四十四页，共111页。解：

设平板尺寸远大于其间距,则板间电场可视为均匀,即E=U/d,从而得式中C=εA/d为平板电容器的电容。

第四十四页第四十五页，共111页。2.3.1麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式

§2.3麦克斯韦方程组Maxwell’sEquations

第四十五页第四十六页，共111页。（推广的安培环路定律）（法拉第电磁感应定律）（磁通连续性定律）（高斯定律）一、麦克斯韦方程组的微分形式第四十六页第四十七页，共111页。时变电磁场的源：1、真实源（变化的电流和电荷）；2、变化的电场和变化的磁场。时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。物理意义：时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。第四十七页第四十八页，共111页。麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间的基本关系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础。二、麦克斯韦方程组的积分形式第四十八页第四十九页，共111页。麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦方程组的非限定形式第四十九页第五十页，共111页。本构关系将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。三、麦克斯韦方程组的限定形式麦克斯韦方程组限定形式Constitutiveequations第五十页第五十一页，共111页。

若媒质参数与位置无关,称为均匀(homogeneous)媒质;;若媒质参数与场强大小无关,称为线性(linear)媒质;;若媒质参数与场强方向无关,称为各向同性(isotropic)媒质;;若媒质参数与场强频率无关,称为非色散媒质;反之称为色散(dispersive)媒质。四、媒质的分类第五十一页第五十二页，共111页。在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中,由麦克斯韦方程组,=0,J=0无源区电场波动方程同理，可以推得无源区磁场波动方程为：2.3.2无源区的波动方程waveequationsforsource-freemedium第五十二页第五十三页，共111页。时变电磁场的电场场量和磁场场量在空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。建立波动方程的意义：通过解波动方程，可以求出空间中电场场量和磁场场量的分布情况。但需要注意的是：只有少数特殊情况可以通过直接求解波动方程求解。第五十三页第五十四页，共111页。一、定义令：，

故：2.3.3

动态矢量位和标量位

dynamicVectorpotentialscalarpotential第五十四页第五十五页，共111页。时变场电场场量和磁场场量均为时间和空间位置的函数，因此动态矢量位和动态标量位也为时间和空间位置的函数。由于时变场电场和磁场为统一整体，因此动态标量位和动态矢量位也是一个统一的整体。为了使时变电磁场场量和动态位之间满足一一对应关系，须引入额外的限定条件——规范条件。洛伦兹规范条件二、洛伦兹规范条件第五十五页第五十六页，共111页。三、动态位满足的方程第五十六页第五十七页，共111页。引入洛伦兹规范条件，则方程简化为达朗贝尔方程从达朗贝尔方程可以看出：第五十七页第五十八页，共111页。试用麦克斯韦方程组导出图2-6所示的RLC串联电路的电压方程(电路全长远小于波长)。

图2-6RLC串联电路例2.3第五十八页第五十九页，共111页。解:沿导线回路l作电场E的闭合路径积分,根据麦氏方程式(a′)有上式左端就是沿回路的电压降,而ψ是回路所包围的磁通。将回路电压分段表示,得设电阻段导体长为l1,截面积为A,电导率为σ,其中电场为J/σ,故第五十九页第六十页，共111页。电感L定义为ψm/I,ψm是通过电感线圈的全磁通,得通过电容C的电流已由例2.2得出:设外加电场为Ee,则有第六十页第六十一页，共111页。因为回路中的杂散磁通可略,dψ/dt≈0,从而得这就是大家所熟知的基尔霍夫电压定律。对于场源随时间作简谐变化的情形,设角频率为ω,上式可化为第六十一页第六十二页，共111页。2.4证明导电媒质内部ρv=0。;［解］利用电流连续性方程(2-31),并考虑到J=σE,有

其解为

例第六十二页第六十三页，共111页。导体内的电荷极快地衰减,使得其中的ρv可看作零。

铜σ=5.8×107S/mε=ε0

τ=1.5×10-19sρv随时间按指数减小驰豫时间:衰减至ρv0的1/e即36.8%的时间,τ=ε/σ(s)第六十三页第六十四页，共111页。一、一般媒质分界面上的边界条件()§2-4

电磁场的边界条件在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数

、

、

发生突变，因而分界面处的场矢量E、H、D、B也会突变，麦克斯韦方程组的微分形式失去意义。此时，有限空间中场量之间的关系是由积分形式的麦克斯韦方程组制约的，边界条件就由它导出。

1、的边界条件Theboundaryconditionsfortime-varyingfields第六十四页第六十五页，共111页。为表面传导电流密度。式中：为由媒质2－>1的法向。特殊地，若介质分界面上不存在传导电流，则结论：当分界面上存在传导面电流时，切向不连续，其不连续量等于分界面上面电流密度。当且仅当分界面上不存在传导面电流时，切向连续。第六十五页第六十六页，共111页。

2、的边界条件结论：只要磁感应强度的时间变化率是有限的，切向连续。3、的边界条件结论：在边界面上，法向连续。第六十六页第六十七页，共111页。4、的边界条件为分界面上自由电荷面密度。特殊地：若媒质为理想介质，则,此时有当分界面上存在自由电荷时，切向不连续，其不连续量等于分界面上面电荷密度。当且仅当分界面上不存在自由电荷时，切向连续。第六十七页第六十八页，共111页。5、J的边界条件第六十八页第六十九页，共111页。在理想介质分界面上，不存在自由电荷和传导电流。二、理想介质分界面上的边界条件在理想介质分界面上，矢量切向连续在理想介质分界面上，矢量法向连续BoundaryconditionsBetweentwoPerfectdielectrics第六十九页第七十页，共111页。在理想导体内部，在导体分界面上，一般存在自由电荷和传导电流。式中：为导体外法向。三、理想导体分界面上的边界条件

对于时变场中的理想导体，电场总是与理想导体相垂直，磁场总是与理想导体相切。BoundaryconditionsBetweenPerfectconductorsandperfectdielectric第七十页第七十一页，共111页。时变场的边界条件包括四个关系式。可以证明它们并不是相互独立的，当满足两个切向分量的边界条件的，必定满足两个法向分量的边界条件。说明：在理想介质的分界面上，用于定解的边界条件为，分析电磁波在理想介质分界面上的反射和透射时就要使用这个边界条件。

理想介质和理想导体只是理论上存在。在实际应用中，某些媒质导电率极小或者极大，则可视作理想介质或理想导体进行处理。在理想介质与理想导体的分界面上，用于定解的边界条件为或。分析电磁波在理想导体表面上的反射时就要使用这个边界条件。第七十一页第七十二页，共111页。同轴线横截面如图2-9（a）所示。设通过直流I,内外导体上电流大小相等，方向相反。求各区中的H和▽×H,并验证各分界处的边界条件。

例

第七十二页第七十三页，共111页。在直流情形下内外导体中电流密度是均匀的,分别为解第七十三页第七十四页，共111页。（2）（3）第七十四页第七十五页，共111页。

以上▽×H结果证明表2-1中的麦氏方程组式(b)处处成立。下面再验证边界条件:（4）第七十五页第七十六页，共111页。例2.6设平板电容器二极板间的电场强度为3V/m,板间媒质是云母,εr=7.4,求二导体极板上的面电荷密度。［解］参看图2-9(b),把极板看作理想导体,在A,B板表面分别有第七十六页第七十七页，共111页。例：在z=0和z=d位置有两个无限大理想导体板，在极板间存在时变电磁场，其电场强度为求：(1)该时变场相伴的磁场强度；(2)导体板上的电流分布。例题第七十七页第七十八页，共111页。解：(1)由麦克斯韦方程第七十八页第七十九页，共111页。(2)由边界条件在下极板上：第七十九页第八十页，共111页。在上极板上：第八十页第八十一页，共111页。时变场中，电场和磁场相互激励，能量不断转换，在这个过程中，电磁能量从一个地方传递到另外的地方。一、坡印廷定理坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。§2-5

坡印廷定理和坡印廷矢量Poynting’stheoremthePoynting’svectorTheenergyandflowofenergyinthetime-varyingfields第八十一页第八十二页，共111页。利用矢量函数求导公式，在线性、均匀、各向同性的媒质中，有第八十二页第八十三页，共111页。坡印廷定理微分形式说明：单位时间单位体积内流出的电磁能量；单位时间单位体积内电场能量减少量；单位时间单位体积内磁场能量减少量；单位体积内转化为焦耳热能的电磁功率；第八十三页第八十四页，共111页。将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得坡印廷定理积分形式说明：表流出闭合面S的电磁功率；单位时间内体积V内电场能量增加量；第八十四页第八十五页，共111页。坡印廷定理物理意义：单位时间内，体积V中减少的电磁能量等于流出体积V的电磁能量与体积V内损耗的电场能量之和。

单位时间内体积V内磁场能量增加量；

单位时间内体积V内损耗的电场能量表示流出闭合面S的电磁功率，因此为一与通过单位面积的功率相关的矢量。定义：坡印廷矢量（用符号表示）注：坡印廷矢量也称能流密度矢量。二、坡印廷矢量第八十五页第八十六页，共111页。

坡印廷矢量的大小表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量。坡印廷矢量的方向即为电磁能量传播方向。讨论:1、若为与时间相关的函数(瞬时形式),则称为坡印廷矢量的瞬时形式。2、对某些时变场，呈周期性变化。则将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均，得平均坡印廷矢量（平均能流密度矢量），即注：与时间t无关。第八十六页第八十七页，共111页。图2-10坡印廷矢量第八十七页第八十八页，共111页。一段长直导线l,半径为a,电导率为σ。设沿线通过直流I,试求其表面处的坡印廷矢量,并证明坡印廷定理。

图2-12直流导线段

例第八十八页第八十九页，共111页。故表面处坡印廷矢量为它的方向垂直于导体表面,指向导体里面。为证明坡印廷定理,需将S沿圆