十届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题与解答

第十八届北京市大学生数学比赛本科丙组试题与解答（2007年10月14日下午2：30--5：00）一、填空题（每题3分，共30分）2.设f(x)(x1)(x2)(xn),则f(1)________.(x1)(x2)(xn)解f(1)(1)n1n(n.1)4.设在[0,1]上f(x)0,则f(0),f(1),f(1)f(0)从小到大的次序是_____________解f(0),f(1)f(0),f(1)..8.设函数zf(x,y)在点(0,1)的某邻域内可微，且f(x,y1)12x，此中3yo()x2y2，则由方程f(x,y)1所确立的函数在x0处的导数dy_______.dy2.dx|x0解|x0dx39.设f(x,y)为连续函数,且f(x,y)y2xf(x,y)dxdy,则f(x,y)_____.x2y2a2解f(x,y)a4πxy2.410.设ye2x(1x)ex是二阶常系数线性微分方程yyyex的一个特解,则222_______.解22214.二、(10分)设二元函数f(x,y)|xy|(x,y),此中(x,y)在点(0,0)的一个邻域内连续.试证明函数f(x,y)在点(0,0)处可微的充分必需条件是(0,0)0.解(必需性)设f(x,y)在(0,0)点处可微,则fx(0,0),fy(0,0)存在.因为fx(0,0)limf(x,0)xf(0,0)lim|x|(x,0),x0x0x且lim|x|(x,0)(0,0),lim|x|(x,0)(0,0),故有(0,0)0.x0xx0x(充分性)若(0,0)0,则可知fx(0,0)0,fy(0,0)0.因为f(x,y)f(0,0)fx(0,0)xfy(0,0)y|xy|(x,y)x2y2x2,y2又|xy||x||y|y22,x2y2x2y2x2因此lim|xy|(x,y)0.由定义f(x,y)在(0,0)点处可微.x0x2y21/7π1πdy22三、(10分)求积分I0xdxx1(tany2)2.解互换积分次序得πy21dxπ2yI2dy2dy0x122220(tany)01)ππ(tanyπ11(tanu)2uy22du2du2du,01(tanu)201(cotu)201(tanu)21ππ.I2du204四、分)设x2x,x0，求fx的极值.1,x0x解limf(x)limx2x1,limx0x0x0f(x)2(lnx1)x2x,x0,1,x0当0xe1时，f(x)0,当x又当x0时,f(x)0,因此x极小值f(e1)e2e1,极大值

f(x)1,f(x)在x0处连续.驻点xe1.e1时，f(x)0,因此xe1是极小值点.是极大值点.0f(0)1.五、(10分)设f(x)在区间f()f(1)6证f(1)f(0)f(0)f(1)f(0)f(0)f(1)f(1)2f(0)

[1,1]上三次可微,证明存在实数(1,1),使得f(1)f(0).2f(0)f(1)2!3!,f(0)f(2)2!3!,1[f(1)f(2)].6由导数的介值性知存在实数(1,2),使得f()1[f(1)f(2)].于是f()f(1)f(1)262f(0).六、(10分)设正项级数an收敛,且和为S.试求：n1(1)lima12a2nnan;(2)a12a2nan.nn1n(n1)2/7解(1)a12a2nanSnSnS1SnS2SnSn1nnSnS1S2nSn1SnS1S21Sn1n1,a12a2nannnSS0;limnn(2)a12a2nana12a2nnana12a21nann(n1)na12a2nana12a2nan(n1)an1an1.nn1记bna12a2nan,则a12a21)nanbnbn1an1nn(na12a2nanb1an1anS.n(n1)n1n1n1七、(10分)证明：当0xπ时,(sinx)2x2142.2π证设f(x)(sinx)2x2,f(x)2sin3xcosx2x32sin3xx3cosx.1x3sin3x令(x)sinxcos3xx,11sinxcos4则(x)cosxcos3x3x13243442cos3x1cosx13x10.3cos3xcos33(x)单一增添且(0)0,故当0xπ时,(x)0.2π4于是f(x)0,进而f(x)单一增添且f(1,)2π时,(sinx)42.2π当0x2x212π八、(10分)证明sin1是无理数.3/7证设sin1是有理数，则sin1pp,q是互素的正整数.,q(1)n1(1)n依据sinx的睁开式有p1111cos(2n1q).q3!5!7!(2n1)!(2n1)!由(2n1)!p(2n1)ncos知，1)nq3!5!7!(2n1)!2n(2n1)(cos是整数(两个整数之差还是整数).2n(2n1)1)ncos但是|cos|1,2n1,故(不行能是整数,矛盾.2n(2n1)因此sin1是无理数.第十八届北京市大学生数学比赛本科甲、乙组试题解答（2007年10月14日下午2：30--5：00）注意：本考卷共九题.甲组九题全做,乙组只做前七题一、填空题（每题2分，共20分）2.设f(x)(x1)(x2)(xn),则f(1)________.(x1)(x2)(xn)解f(1)(1)n1.n(n1)3.已知曲线yf(x)在点(1,0)处的切线在y轴上的截距为1,则lim[1f(11)]n_____.1nn解lim[1f(1)]ne.nnπxsin2x5.2dx_________.πcosx)22(1解原式4π.6.设函数zf(,)在点(0,1)的某邻域内可微,且f(,1)12x3yo(),此中xyxyx2y2，则曲面zf(x,y)在点(0,1)处的切平面方程为_____________.解切平面方程为2x3yz20.7.直线x01y1z1绕z轴旋转的旋转曲面方程为_____________.11解旋转转曲面方程x2y2z21.8.设L为关闭曲线|x||x的正向一周，则22dxcos(xy)dy____.y|1Lxy解原式0.4/79.设向量场A2x3yzix2y2zjx2yz2k,则其散度divA在点M(1,1,2)处沿方向l{2,2,1}的方导游数(divA)|M______.l解原式22.310.设ye2x(1x)ex是二阶常系数线性微分方程yyyex的一个特解,则222_______.解22214.二、分)设二元函数f(x,y)|xy|(x,y),此中(x,y)在点(0,0)的一个邻域内连续.(10试证明函数f(x,y)在(0,0)点处可微的充分必需条件是(0,0)0.证(必需性)设f(x,y)在(0,0)点处可微,则fx(0,0),fy(0,0)存在.因为fx(0,0)limf(x,0)f(0,0)|x|(x,0)xlimx,x0x0且lim|x|(x,0)(0,0),lim|x|(x,0)(0,0),故有(0,0)0.xxx0x0(充分性)若(0,0)0,则可知fx(0,0)0,fy(0,0)0.因为f(x,y)f(0,0)fx(0,0)xfy(0,0)y|xy|(x,y)|xy||x||y|2,x2y2x2y2,又x2y2x2y2x2y2因此lim|xy|(x,y)0.由定义f(x,y)在(0,0)点处可微.x022y0xy四、分)设函数u(x,y),v(x,y)在闭地区D:x2y2上有一阶连续偏导数,又(101f(x,y)v(x,y)iu(x,y)j,g(x,y)uui+vvj,且在D的界限上有xyxyu(x,y)1,v(x,y)y,求fgd.D解fgvuuvvuvvuv(uv)(uv)xyuyvuyux,xxxyyfgd(uv)(uv)duvdxuvdyydxydyxyDDLL2πsin2π,L:x2y20(sincos)d1,正向.五、(10分)计算x2dydzy2dzdxz2dxdy,此中:(x1)2(y1)2z21(y1),取外侧.45/7解设0:y1,左边,D:(x1)2z2.1,则原式400dzdx2π,D2(xyz)dv2(xy)dvππ1rsinsin2)r2sindr2dd2(rcossinVV00004ππ121sinsin22)d19π,d(cossin4sin30043原式19π2π25π.33另解设0:y1,左边,D:(x1)2z21,则原式.400dzdx2π,2(xyz)dv,故原式2(xyz)dv2π.0D0VV22x2)dx4π,Dx1)2z2x2,yxdvxdxdydzπx(2x:(y2x1,V0Dx034222(2yy2)dy11π,Dy1)2z2y2,ydvydxdzdxπy:(x2yV1Dy064原式8π11π2π25π.333七、(10分)飞机在机场开始滑行着陆.在着陆时刻已失掉垂直速度,水平速度为v0米/秒.飞机与地面的摩擦系数为,且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比,在水平方向的比率系数为kx千克秒2/米2,在垂直方向的比率系数为ky千克秒2/米2.设飞机的质量为m千克,求飞机从着陆到停止所需的时间.解水平方向的阻力Rxkxv2,垂直方向的阻力Rykyv2,摩擦力W(mgRy).2kxkyds由牛顿第二定律，有ds(2g0.dt2m)dtkxkyg,依据题意知A0.于是有d2sds2B0,即dvAv2B0.记A,Bdt2A()dtmdt分别变量得dvBdt,积分得1arctan(Av)tC.Av2ABB代入初始条件t0,vv0,得C1Av0).ABarctan(B1A1AtABarctan(Bv0)ABarctan(Bv).当v0时，t1arctan(Av0)marctankxky(秒).ABB(kxky)gmgv0以下两题乙组考生不做6/7π内,试比较函数tan(sinx)与sin(tanx)的大小，并证明你的结论.九、(10分)在区间(0,)2解设f(x)tan(sinx)sin(tanx),则cos3xcos(tanx)cos2(sinx).f(x)sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2xcos2(sinx)cos2x当0xarctanπ时，0tanxπ,0sinxπ.222π由余弦函数在（，）上的凸性有021costanx2sinx.3cos(tanx)cos2(sinx)[cos(tanx)2cos(sinx)]33设(x)tanx2sinx3x，(x)sec2x2cosx3tan2x4sin2x3x,因此costanx2sinx2于是tanx2sinxcosx,即cos(tanx)cos2(s