用空间向量研究直线平面的位置关系课件（2）高二上学期数学人教A版选择性

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）

第一章空间向量与立体几何学习目标1.理解线面的位置关系与向量的联系．2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系．3.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系.学习目标

类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？

课程引入

空间中垂直关系的向量表示位置关系向量表示线线垂直l1⊥l2⇔μ1⊥μ2⇔μ1·μ2=0线面垂直l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R,使得u1=λn1面面垂直α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则用空间向量证明垂直的方法：(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零．(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示． (3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示

阶段小结

利用空间向量证明线线垂直问题BCD1．(多选)下列命题中，正确的命题为(

)A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥βB．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0C．若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α垂直，

则n∥aD．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直

1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.(

)(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(

)(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.(

)(4)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.(

)×

√×√

阶段检测（一）2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝AB，E，F分别是PC，PA的中点．求证：PB⊥EF.

典例解析

利用空间向量证明线面垂直问题如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．证明(法一):如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．

因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.

用坐标法证明线面垂直的方法及步骤(1)利用线线垂直①将直线的方向向量用坐标表示．②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量①将直线的方向向量用坐标表示．②求出平面的法向量．③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．

阶段小结

阶段检测（二）

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.

利用空间向量证明面面垂直问题

证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．

阶段小结

在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD．

阶段检测（二）证明：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD