基本不等式及其应用

§74基本不等式及其应用基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1基本不等式成立的条件： 2等号成立的条件：当且仅当时取等号知识梳理a>0，b>0a＝b2几个重要的不等式1a2＋b2≥a，b∈R2ab23ab≤a，b∈R以上不等式等号成立的条件均为a＝b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3算术平均数与几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知>0，y>0，则1如果积y是定值p，那么当且仅当时，＋y有最值简记：积定和最小＝y小2如果和＋y是定值p，那么当且仅当时，y有最值简记：和定积最大＝y大不等式的恒成立、能成立、恰成立问题1恒成立问题：若f在区间D上存在最小值，则不等式f>A在区间D上恒成立⇔ ；若f在区间D上存在最大值，则不等式f<B在区间D上恒成立⇔ 2能成立问题：若f在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数使不等式f>A成立⇔ ；若f在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数使不等式f<B成立⇔ 知识拓展fmin>A∈Dfma<B∈Dfma>A∈Dfmin<B∈D3恰成立问题：不等式f>A恰在区间D上成立⇔f>A的解集为D；不等式f<B恰在区间D上成立⇔f<B的解集为D判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”思考辨析×××××√

1教材改编设>0，y>0，且＋y＝18，则y的最大值为A80B77C81D82考点自测答案解析∵x>0，y>0，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.

答案解析

>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是答案解析a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.，y满足y＝1，则2＋2y2的最小值为______答案解析5教材改编若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2答案解析25设矩形的一边为xm，则另一边为

×(20－2x)＝(10－x)m，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.题型分类深度剖析题型一利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等式答案解析当且仅当3x＝4－3x，即x＝

时，取等号.1答案解析因为x<，所以5－4x>0，答案解析例2已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为___命题点2通过常数代换法利用基本不等式答案解析4∵a>0，b>0，a＋b＝1，引申探究解答当且仅当a＝b＝

时，取等号.解答解答∵a＋2b＝3，思维升华1应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件2在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式3条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值跟踪训练11若正数，y满足＋3y＝5y，则3＋4y的最小值是________答案解析5∴3＋4y的最小值是5当且仅当y＝时等号成立，∴3＋4ymin＝52已知，y∈0，＋∞，2－3＝y，若 m>0的最小值为3，则m＝____答案解析4由2－3＝y得＋y＝3，解得m＝4题型二基本不等式的实际应用例3某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量即该厂的年产量万件与年促销费用mm≥0万元满足＝3－为常数如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的15倍产品成本包括固定投入和再投入两部分资金1将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；解答由题意知，当m＝0时，＝1万件，∴1＝3－⇒＝2，∴＝3－，2该厂家2016年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？∴y≤－8＋29＝21，解答故该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元思维升华1设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数2根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值3在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解跟踪训练21某车间分批生产某种产品，件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品_______件答案解析80设每件产品的平均费用为y元，由题意得2某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y单位：万元与机器运转时间单位：年的关系为y＝－2＋18－25∈N*，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是___万元8答案解析当且仅当x＝

，即x＝5时，取等号.

题型三基本不等式的综合应用命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例412016·菏泽一模已知直线a＋by＋c－1＝0b，c>0经过圆2＋y2－2y－5＝0的圆心，则的最小值是A9B8C4D2答案解析圆2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得2＋y－12＝6，所以圆心为C0,1因为直线a＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1因为b，c>0，22016·山西忻州一中等第一次联考设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________答案解析当且仅当n＝4时取等号.

命题点2求参数值或取值范围答案解析∴m≤12，∴m的最大值为12答案解析设g＝＋，∈N*，则g2＝6，g3＝对任意∈N*，f≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－＋＋3思维升华1应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式或式子变形，然后利用基本不等式求解2条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解3求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围

跟踪训练312016·福建四地六校联考已知函数f＝＋＋2的值域为－∞，0]∪[4，＋∞，则a的值是答案解析由题意可得a>0，几何画板展示

答案解析由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1舍去因为＝4a1，所以qm＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合题意利用基本不等式求最值现场纠错系列9利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件错解展示现场纠错纠错心得返回解析1∵>0，y>0，返回课时作业，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是√1234567891011121314答案解析A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件√答案解析1234567891011121314因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝a－b2≥0，1234567891011121314√答案解析√答案解析1234567891011121314因为lg2＋lg8y＝lg2，所以＋3y＝1，1234567891011121314＋2y＝1，则＋y的取值范围是AC答案解析√1234567891011121314>0，y>0，且4y－－2y＝4，则y的最小值为√答案解析答案解析√12345678910111213141234567891011121314当且仅当a－5c＝0，ab＝1，aa－b＝1时，等号成立，123456789101112131482016·唐山一模已知，y∈R且满足2＋2y＋4y2＝6，则＝2＋4y2的取值范围为________答案解析∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号).又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12(当且仅当x＝－2y时取等号).综上可知4≤x2＋4y2≤12.92016·潍坊模拟已知a，b为正实数，直线＋y＋a＝0与圆－b2＋y－12＝2相切，则的取值范围是_________答案解析0，＋∞12345678910111213141234567891011121314∵＋y＋a＝0与圆－b2＋y－12＝2相切，∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1，又∵a，b为正实数，12345678910111213144答案解析由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，∴a＋b＝1，∵a>0，b>0，*112017·东莞调研函数y＝loga＋3－1a>0，且a≠1的图象恒过定点A，若点A在直线m＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则 的最小值为_____答案解析8y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)，由A在直线mx＋ny＋1＝0上.则－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.1234567891011121314>0，y>0，且2＋5y＝201求u＝lg＋lgy的最大值；解答1234567891011121314∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立.1234567891011121314此时y有最大值10∴u＝lg＋lgy＝lgy≤lg10＝1∴