两角和与差的正弦余弦和正切公式

第五章三角函数§551两角和与差的正弦、余弦、正切公式一探要点·究所然情境导学从两角差的余弦公式cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？探究点一由公式Cα－β推导公式Cα＋β思考由于公式Cα－β对于任意α，β都成立，那么把其中的＋β换成－β后，也一定成立请你根据这种联系，从两角差的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示cosα＋β的公式？答∵α＋β＝α－－β，cos－β＝cosβ，sin－β＝－sinβ，∴cosα＋β＝cos＝cosαcos－β＋sinαsin－β＝cosαcosβ－sinαsinβ即cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ思考利用诱导公式五或六可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sinα＋β及sinα－β的公式？探究点二由公式Cα－β推导公式Sα＋β及Sα－β＝sinαcosβ＋cosαsinβ即sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ从而，sinα－β＝sin＝sinαcos－β＋cosαsin－β＝sinαcosβ－cosαsinβ思考运用两角和与差的正弦、余弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征结构后，再运用公式化简、求值如果题目中存在互余角，要善于发现和利用探究点三两角和与差的正弦、余弦公式的应用解原式＝sin＋27°cos18°－－cos＋27°·sin－18°＝sin＋27°cos18°－＋cos＋27°sin18°－例1化简求值：1sin＋27°cos18°－－sin63°－sin－18°；反思与感悟解答此类题一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式跟踪训练1化简求值：1sin14°cos16°＋sin76°·cos74°；2sin54°－cos36°＋＋cos54°－sin36°＋；解原式＝sin＝sin90°＝1∴sinα＝sin＝sinα－βcosβ＋cosα－βsinβ反思与感悟此类题是给值求角题，步骤如下：1求所求角的某一个三角函数值；2确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值∴sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβsinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ例3已知sin2α＋β＝3sinβ，求证：tanα＋β＝2tanα证明sin2α＋β＝3sinβ⇒sin⇒sinα＋βcosα＋cosα＋βsinα＝3sinα＋βcosα－3cosα＋βsinα⇒2sinα＋βcosα＝4cosα＋βsinα⇒tanα＋β＝2tanα反思与感悟证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异当堂测·查疑缺1237°cos37°－sin83°cos53°的值是A解析原式＝sin7°cos37°－cos7°sin37°4解析sinC＝sin＝sinA＋B＝sinAcosB＋cosAsinB1234答案A1234∴f∈12341234cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ1234呈重点、现规律α±β与Sα±β的联系、结构特征和符号规律四个公式Cα±β、Sα±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cosα－β cosα＋β sinα＋β sinα－β，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cosα－β的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式对于公式Cα－β与Cα＋β，可记为“同名相乘，符号反”对于公式Sα－β与Sα＋β，可记为“异名相乘，符号同”2使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβco