函数模型及其应用

322函数模型的应用实例32函数模型及其应用问题提出

一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数以及幂函数，不只是理论上的函数模型，它们都与现实世界有着紧密的联系如何利用这些函数模型来解决生产、生活中的实际问题，就成为一个研究的课题探究（一）：建构函数模型思考1:该图中坐标轴上的数据，如何对应理解？【背景问题】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示:v/(km·h)5065758090t/h3o1245前1个小时，汽车的速率为50m/h，第2个小时，汽车的速率为80m/h，…思考2:图中5个小矩形的面积分别有什么实际含义？这5个小矩形的面积之和为多少？其实际含义是什么？S＝360，表示5小时内汽车行驶的路程t/h5v/km·h-160403020105070809001234时间速率路程思考3:假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004m，那么行驶这段路程时汽车里程表读数sm与时间th的函数关系是什么？5v/m·h-160403020105070809001234t-1t/h思考4:这是一个什么类型的函数？其大致图象如何？s2000O123421002400230022005t分段函数探究（二）：函数模型的量化分析【背景问题】人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率下表是1950～1959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数55196563005748258796602666145662828645636599467207思考1:1951年我国的人口增长率约为多少？思考2:如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到00001），那么如何计算1951～1959年期间我国人口的年平均增长率？年份1950195119521953195419551956195719581959人数55196563005748258796602666145662828645636599467207由551961＋r＝56300得，r≈002思考4:怎样检验该函数模型与我国实际人口数据是否相符？思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在1950～1959年期间人口增长的函数模型是什么？850000550006000065000700002oty64

先作出函数的图象，再根据表中数据作出散点图先作散点图再作函数图象观察其吻合度思考5:据此人口增长模型，大约在哪一年我国的人口达到13亿？由得t≈38.76（1989年）探究规律给定函数模型确定函数模型解决实际问题思考：实际问题中没给定函数模型怎么办？探究（三）：实际问题的最优化分析【背景问题】某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示:240280320360400440480日均销售量/桶1211109876销售单价/元思考1:你能看出表中的数据有什么变化规律？销售单价每增加1元，日均销售量减少40桶思考2:假设每桶水在进价的基础上增加元，则日均销售量为多少？销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240思考3:假设日均销售利润为y元，如何用表示y？480－40－1＝520－40y＝520－40－200＝－402＋520－200思考4:上述关系表明，日均销售利润y元是的函数，如何确定这个函数的定义域？思考5:这个经营部怎样定价才能获得最大利润？＞0，且520－40＞0，即∈0，13每桶销售单价定为115元思考6:建构函数模型解决最优化问题的一般思路是什么？选取自变量→建立函数式→确定函数定义域→求函数最值→回答实际问题探究（四）：实际问题的函数拟合【背景问题】某地区不同身高单位：cm的未成年男性的体重单位：g平均值如下表：55.0547.2538.8531.1126.8620.92体重170160150140130120身高17.5015.0212.159.997.906.13体重11010090807060身高思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如何？身高（cm）体重（kg）o55.0547.2538.8531.1126.8620.92体重170160150140130120身高17.5015.0212.159.997.906.13体重11010090807060身高思考2:根据这些点的分布情况，可以选用那个函数模型进行拟合，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重yg与身高cm的函数关系？身高（cm）体重（kg）oy＝a·b＞0思考3:怎样确定拟合函数y＝a·b＞0中参数a，b的值？a≈2，b≈102思考4：如何检验函数y＝2×＞0的拟合程度？将已知数据代入函数式检验，或作函数图象检验思考5:对实际问题中的离散数据进行函数拟合的一般思路是什么？收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验用函数模型解释实际问题YesNo