(30)-5.3讲义 期权产品的定价原理

第三节期权产品的定价原理3.1期权定价——二叉树简介1979年，Cox,JohnC.,StephenA.Ross将二叉树模型用于期权定价中，迄今为止，这种模型已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。其基本思想是资产在市场上交易时，是随着时间在连续在变动的。所以如果我们把这个时间点看得很小的话，那么从一个时间点到下一个时间点，资产价格可能的变化，可以认为它只有两种可能。二叉树模型的基本假设资本市场完全竞争的市场无摩檫的（无交易费用和税收)、市场交易可以连续进行不存在无风险套利机会股票和期权是无限可分下一期的股票价格只取两种可能的值欧式期权单期二叉树假设一种不支付红利股票目前的市价为20元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是22元，要么是18元。假设现在的无风险年利率等于10%（连续复利），现在我们要找出一份3个月期协议价格为21元的该股票欧式看涨期权的价值。无套利定价思想1.（复制待定价的产品）我们构造这样一个投资组合，以便使它与看涨期权的价值完全相同：以无风险利率r借入一部分资金B，同时在股票市场上购入N股标的股票。该组合的期初价值是20N-B，到了期末，该组合的价值V是V=对应于S1的两种可能，V有两个取值：如果S1=22,则

V=1=

22N-如果S1=18,则

V=0=

18N-利用两式联立的方程组，可解得N和B，即：&N=0.25将其代入初始组合，即可得到期权的价值C=0.25无套利定价思想2.（复制无风险组合）建立一个包含衍生品头寸和基础资产头寸的无风险的资产组合。若数量适当，基础资产多头的赢利就会与衍生品的空头亏损相抵，无风险。无风险组合的收益率必须等于无风险利率。为了找出该期权的价值，可构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。为了使该组合在期权到期时无风险，Δ必须满足下式：222218无风险意味着：22Δ－1=18Δ，即：Δ=0.25该无风险组合的现值应为：4.5由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为20元，因此：20无套利定价思想3：风险中性定价思想在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为p，下跌的概率为1−p，则eP=0.6266这样，根据风险中性定价原理，我们就可以给出该期权的价值：e3.2期权定价——二叉树模型一般形式假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到Su=S

×u，或者下降到S当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。无套利定价法的思路首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，使得该组合为无风险组合，即：SSSΔ由此计算出该组合为无风险时的Δ值。Δ=如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值一定是（SuΔ-fSΔ所以f=e-验证：S=e-股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格！风险中性定价的思路假定风险中性世界中股票的上升概率为p，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：fffufdS=e-所以优点：利用风险中性概率对期权进行定价时，只需把二叉树上面对应的两个节点上的期权价值进行无风险中性概率的折现，就可以得到期权在期初时的公平价格。不用再去计算到底复制需要多少份标的资产，计算更加简便。练习：求欧式看跌期权的价值，执行价格X=21,到期期限T=3个月，无风险利率r=0.1小结：在二叉树模型计算欧式看涨期权价值中，不难发现：风险中性概率只依赖股票价格S变动范围（即u,d的值），u，d衡量的是股票价格的波动率，以后会在BS模型中看到波动率的重要性。计算公式中没有出现股票实际上涨或下跌的概率，也没有描述投资者对于风险偏好程度的变量。所以对于所有投资者来说，无论他对未来股票价格涨跌的概率有什么预期，或他对风险厌恶程度如何，都能对看涨期权的“公平”或“正确”价格达成一致。P称为股票价格的风险中性概率。不要与股票价格上涨的实际概率相混肴，实际概率并不影响期权价格，P也称为等价鞅测度概率。无套利假设等价于存在对未来不确定状态的某一等价概率测度，使得每一种金融资产对该等价概率测度的期望收益都等于无风险证券的收益率。表明了无套利定价与风险中性定价的关系是等价的。3.3期权定价——两步二叉树一、两期二叉树模型2020221824.219.816.2每个步长为3个月，X=21,u=1.1,d=0.9,r=12%，风险中性概率P=二、欧式看涨期权定价20201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEFX=21B结点处的价值：eA结点处的价值：e三、欧式看跌期权的定价X=21根据平价公式：c+X四、一般情况每期二叉树的步长为𝚫t,风险中性概率为pSSfufufABCDEFududfd2dfdff=五、Delta(∆)定义:卖出一份期权时，需要持有的股票数量。由单步二叉树的套利定价法可知，Delta(Δ)为期权价值变化与股票价值变化的比值，对于单步二叉树：Δ=f201.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF3.4美式期权定价——二叉树一、单期二叉树：美式期权的单期定价u=1.1,d=0.9,r=12%,步长T=3个月风险中性概率P=针对美式期权，需要考虑提前执行的价值与不提前执行的价值哪一个是最优的，因此即使在单步的二叉树下美式与欧式的估值也是不同的。所以利用二叉树对美式期权进行定价时，需要比较这个期权立刻行权所获收益与等待到下一个时刻再去行权时收益的折现值的大小，去选择何时行权。美式看跌期权X=22的价值为：2欧式看跌期权X=22的价值为：1.46ffffufdf

二、两期二叉树模型20201.0591220.40491824.2019.81.216.24.82.3793ABCDEF执行价格为x=21f

总结：对于美式期权价值，第一步可以计算出相对应的欧式期权的无风险中性概率P，通过折现得出欧式期权的价值。由于美式期权有选择的权利，行权或是不行权完全取决于这两个点上谁收益更多，所以第二步需要去比较立刻行权带来的收益和等待，不行权带来的收益哪一个大，大者即为美式期权价值。3.5期权定价——障碍期权的二叉树定价一、障碍期权的二叉树定价1.障碍期权的性质障碍期权是路径依赖期权，它们的回报以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。（1）敲入障碍（knockinoption）敲入期权在没有到达障碍水平时，期权价值为0。对于敲入期权来说，其价值在于到达障碍的可能性。如果是一个向上敲入期权，那么在资产价格到达上限的时候，合约的价值就等于一个相应的常规期权价值。（2）敲出期权（knockoutoption）当标的资产价格达到敲出障碍水平H时，期权合约作废。2.二叉树模型下敲出（down-out）期权的定价假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为100元,无风险连续复利为5%，u=1.1,d=0.9,二叉树步长为1周，试计算该股票3周的，协议价格为X=105元，障碍水平为95元的向下敲出欧式看涨期权的价值。障碍水平为普通看涨期权价值为11.87，障碍期权比较便宜。二、回望期权（look-backoption）的二叉树模型1.回望期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段（称为回望时段）中达到的最大或最小价格（又称为回望价），根据是资产价还是执行价采用这个回望价格，回望期权可以分为：（1）固定执行价期权（2）浮动执行价期权2.二叉树模型下回望期权的定价S=100，d=0.9，u=1.1，执行价格X=105利用3步二叉树计算到期日为3年的固定执行价的欧式回望看涨期权的价格。股价二叉树如下所示：Pu执行价X=3.6Black-Scholes期权定价模型简介一、欧式期权定价期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在1973年——金融学家F.Black与M.Scholes发表了“期权定价与公司负债”的著名论文。该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式——Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法二、风险中性定价公式风险中性环境，欧式看涨期权，其中EQ为风险中性概率期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响，因而要为期权定价首先必须研究标的资产的价格。而资产的未来价格总是不确定的，资产价格随时间变动的过程形成一个随机变量序列，称之为随机过程。研究资产价格过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量取值的概率分布情况。三、股票价格的几何布朗运动GBM（GeometricBrownianmotion）股票价格的对数过程为带漂移的Brown运动dln得到：ln因此在t1时刻，我们有：ln上述模型表示为St微分形式为：d股票价格服从的上述模型称之为几何布朗运动模型（GBM），股票价格的解析式为：S四、Black-Scholes期权定价公式假设1.股价过程为几何布朗运动（GBM）2.卖空无限制3.没有交易成本、税收，证券是无限可分的4.标的资产不产生红利5.不存在套利机会6.证券可以连续交易7.所有期限的无风险利率同为常数五、Black-Scholes-Merton公式背后思想1.期权和股票受到同样的不确定的影响2.通过构造股票和期权的组合可以得到无风险的组合，可以消除所有的风险3.在市场没有套利的前提下，无风险的资产3.7期权定价_PDE推导一、Black-Scholes期权定价PDE推导在风险中性下股票St的动态过程为：d股票价格服从的上述模型称之为几何布朗运动模型（GBM），股票价格的解析式为：S二、Black-Scholes微分方程推导在几何布朗运动的框架下，股票的价格为：Δ对于任意衍生品，如果其价格𝑓依赖于标的资产的价格和时间，即：f(S,t)。则根据ITO公式可以得到Δ我们构造如下的投资组合：一份期权的空头+𝛿份标的资产该投资组合在期初的价值为：Π通过带入f的表达式，Π的动态变化过程可以表示为：ΔΠ为了使得投资组合Π是无风险的，只需要消除唯一的随机因素ΔW。因此，我们选取δ=这时，我们可以得到：ΔΠ现在Π变成了无风险的资产了，能够获得的收益率只能是无风险利率。由此，我们有：ΔΠ整理后，我们有：∂f该方程就是:Black-Scholes-Merton方程。该方程不单用于期权，任何的衍生品，如果价格依赖于标的资产和时间都可以运用。如果要得到f的解，我们只需要确定𝑓的边界条件即可。例如：对于欧式看涨期权f(三、应用到远期合约在远期合约到期时，其价值为f上面即为Black-Scholes-Merton方程的边界条件，由此我们可以得到：f四、永续衍生品对于永续衍生品，由于没有到期时间，所以其价格不是时间的函数，由此可以得到：rs3.8Black-Scholes期权定价公式一、Black-Scholes期权定价公式Black-Scholes期权定价公式：C其中，r为无风险利率，